Örökzöld probléma a törtbővítés
Az újonnan érkező középiskolásokkal mindig alaposan át kell ismételni a közös nevezőre hozást, a törtbővítést – s ezek előtt az osztás idevágó tulajdonságát. Valójában azért nem értik a törtbővítést, mert nem értik az osztás műveleti tulajdonságait.
Olyan egyszerű kérdésekkel kezdünk, mint például:
12:3 = 24:?
Nem látják, hogy kétszer akkora osztandót írtam, s hogy ugyanazt az eredményt kapjuk, nekik kétszeresére kell változtatni az osztót. Kiszámoljuk a baloldalt, s utána kérdezem meg, hogy melyik szám van meg 4-szer a 24-ben.
Sok ehhez hasonló példa után – egész számok a hányadosok – fogalmazzuk meg azt a szabályt, hogy ha az osztandó és az osztó is ugyanannyiszorosára változik, akkor a hányados nem változik.
Ezután átírjuk az osztás jelét törtvonalra:
12/3 = 24/6; stb.
Ezek után térünk át olyan osztásokra, ahol nem egész a hányados:
1:2 = 3:?
Hogy el tudják képzelni az ilyen osztásokat rajzokat készítünk: ha egy dinnyét két gyerek között osztunk el, akkor ugyanannyit eszik egy gyerek, mint amikor 3 dinnyét 6 gyerek között osztunk szét.
Több ilyen példa után ismét megerősítjük, hogy a hányados nem változik, ha az osztandót is és az osztót is ugyanannyiszorosára változtatjuk.
Majd megint végigmegyünk az osztásokon, s az osztás jelére a törtvonalat használjuk:
1/2 = 3/6.
S amikor a konkrét példákat már jól oldják meg egyedül is a tanulók, akkor általánosítunk:
- Ha a:b = c, akkor mennyi lesz 2a:(2b)?
Ha itt a tanulók nem suttogják halkan, hogy 2c, akkor nyert ügyünk van. Bátortalanul, de elhangzik, hogy c.
Folytatjuk még egy-két példával a sort, majd használjuk a törtvonalat:
a/b = 2a/(2b) = 3a/(3b) = …. = c
S amikor ezt a tulajdonságot a tanulók saját szavaikkal megfogalmazzák, egy kis időre megnyugodhatunk. A következő lépés pedig az lesz, hogy az előbbi sort ne csak balról jobbra tudják alkalmazni (törtbővítés), hanem jobbról balra is (egyszerűsítés). Ez már gördülékenyen szokott menni.
Számbarkóba
Matematika órák elején is bemelegítünk szóban, írában. Mint ahogy a testnevelés órák sem egyből a távolugrással kezdődnek, hanem egy kis futkározással, gimnasztikával.
Szóbeli bemelegítés a fejszámolás, számbarkóba lehet: kis, egyszerű racionális számokkal.
Fejszámolás
- alapműveletek egész számokkal
- mértékegység átváltások
- törtrész kiszámítása
- egyszerű százalékszámítási kérdések
- függvényérték kiszámítása
- stb.
Számbarkóba
- Az osztálynak kell kitalálnia, kibarkóbáznia a gondolt számot. Tanulságos megfigyelni, hogy mennyire célratörően kérdeznek a tanulók. Elég sok kört le kell játszani, míg rájönnek a “felező módszerre”.
- A számbarkóba arra is rákényszeríti a diákokat, hogy figyeljenek egymás kérdéseire, a válaszokra; s ne kérdezzék meg ugyanazt más szavakkal.
- A tanulók gyakorolják a számok tulajdonságainak precíz megfogalmazását.
Írásbeli bemelegítés
- Egy-egy műveletsor, amelyben a műveleti sorrendet gyakorolják a tanulók.
- Táblázat segítségével függvényértékek kiszámítása.
- Pár mértékegység átváltás.
- Egy terület-, térfogatszámítási feladat.
- stb.
5-10 percesek az óra eleji szóbeli vagy írásbeli villámkérdések, s azt a célt szolgálják, hogy a tanulók átkapcsoljanak az előző tanóráról a matematikára, figyelmüket összpotosítsák, s felkészüljenek az új anyag megértésére.
Előismeretek mozgósítása
Tanóráinkat a diákokban meglévő ismeretekből tudjuk indítani. Ezek az előismeretek jelentik az alapot amelyre építkezhetünk, valami újat rárakhatunk, új szempontból csoportosíthatjuk azokat.
Az előismeretek mozgosításának következő módszerét alkalmazhatjuk új anyag tárgyalása előtt, hogy kiderítsük, hogy a tanulók mit tudnak, mit hallottak a témakörrel kapcsolatban; vagy összefoglaló órán egy fejezet végén.
4 fős csoportokban dolgoznak a tanulók. Egy nagyobb papírlapra felírják egymás alá az ábécé betűit, s a csoportoknak minél több fogalmat, adatot kell gyűjteni a témakörből, s a megfelelő kezdőbetűhöz írniuk.
Egy betűhöz több fogalom is kerülhet, illetve nem baj, ha üresen marad egy-egy betű sora.
Nagyon motiváló a módszer, a tanulók minden betűhöz szeretnének valamit írni. Egyformán aktivizálja a csoport minden tagját a feladat, s így nem lesznek lustálkodók. S a tananyaggal kapcsolatban rengeteg ismeretet, előismeretet előbányásznak a diákok.
A folytatásban többféleképpen is felhasználhatjuk a gyűjteményeket. Egyrészt elkészülhet az osztály közös szótára az adott témakörből: egy nagy csomagolópapírra felkerül minden fogalom. Így A-tól Z-ig átismétli az osztály a tudnivalókat.
Másrészt lehet a következő feladata a csoportoknak, hogy fogalomhálót (hálókat) készítsenek gyűjteményükből. Tehát a fogalmak közötti kapcsolatokat ábrázolják. Ez a feladat rendszerezőképességüket fejleszti.
Osztás
Az osztás műveleti tulajdonságainak ismerete, alkalmazása szükséges a törtek megértéséhez.
Akkor mondhatjuk, hogy kialakult számolási készség az osztás műveletével, ha a tanuló felismeri és alkalmazza (például), hogy 12:5 + 8:5 = 20:5. S ennek fordítottját is, például 128:4 = 120:4 + 8:4. Ezek az azonos nevezőjű törtek összeadására vonatkozó műveleti szabályok.
Úgyanígy a kivonás esetén is: 30:7 – 2:7 = 28:7; s fordítva is. Olyan számfeladatokat, tevékenységeket és szöveges feladatokat készítsünk a tanulóknak, melyekből leszűrheti, kikövetkeztetheti, megalkothatja magában ezeket az összefüggéseket.
Például:
- 12:9 + 21:9 - 6:9 =
- 25 dm-es szalagot elosztani 8 tanuló között, majd 11 dm-es szalagot elosztani a 8 tanuló között – hány dm szalag lesz 1 tanulónál,
- hétfőn 30 pohár tejet osztunk el az osztály 20 tanulójának, kedden 40 pohárral, szerdán 50 pohárral. Így hány pohár tejet kapott egy tanuló?
- stb.
Az osztás következő tulajdonsága a törtek bővítésének, egyszerűsítésének megértéséhez szökséges. Például: 42:14 = 21:7. Sok-sok hasonló feladattal, gyakorlattal készíthetjük elő a törtegyszerűsítést, -bővítést, s aztán a közös nevezőre hozást.
Például: 42 almát osztunk el 14 tanuló között. Ekkor egy diák ugyannyi almát kap, mint amikor 21 almát osztunk el 7 tanuló között.
Vagy: 1 méteres szalagot 4-felé osztva ugyanannyit kapunk, mint 2 méteres szalagot 8-felé osztva -> 1:4 = 2:8.
Fejlesztési terv
A kompetenciafejlesztés jegyében fejlesztési tervet kellett készítenünk azoknak az osztályoknak, ahol gyenge tanulmányi átlaggal záródott az előző tanév.
Túl kellett tenni magunkat azon a kérdőjelen, hogy egy egész osztály számára hogyan írhatunk közös fejlesztési tervet, s hogyan tekintsünk el az egyéni különbségektől.
Készítettem egy szakiskolás 10. osztály számára fejlesztési tervet, mert gyengének találtam a 2,2-es kilencedikes átlagot.
Helyzetelemzés
A terv első pontja a helyzetelemzés, ahol megfogalmaztam a kilencedikes dolgozatok gyenge teljesítményeit. Végignéztem az éves tanulói munkákat, kikerestem a tipushibákat, s felsoroltam a legfontosabb problémákat, hiányosságokat.
Nem csak a tananyagtartalom, hanem képességek, készségek szempontjából is átböngésztem a kilencedikes témazárókat: számolási hibák, az ellenőrzés hiánya, következetesség, világos fogalmazás, precizitás, irreális eredmények elfogadása, külalak, levezetések és számítások követhetősége, stb.
Ebből az elemzésből kiválasztottam a legfontosabb hármat, s ezekre fogalmaztam meg fejlesztési feladatokat.
Fejlesztési feladatok és módszerek
A következő három fejlesztési feladatot választottam a tanévre:
- A helyes tanulási szokások továbbfejlesztése, megerősítése
- Számolási készség fejélesztése
- Térszemlélet fejlesztése.
Ezekhez a célokhoz rendeltem néhány módszert is:
- rendszeres tankönyv-használat az órákon,
- a füzetvezetés ellenőrzése,
- fogalomhálók használata a tanuláshoz,
- otthoni tanulás motiválása szorgalmi feladatokkal,
- zsebszámológép rendszeres használatának ösztönzése,
- becslés műveletvégzés előtt,
- gyakorlati és szakmai számítási feladatok segítségével a problémamegoldó képesség, az összefüggések felismerésének fejlesztése,
- testek építése, ábrázolása, a háló felhasználása felszínszámításhoz, mérési feladatokhoz, mértékváltásokhoz.
Sikerkritérium
A terv következő pontja egy mérhető, számszerű kritérium megfogalmazása, azaz mikor tekintem sikeresnek a fejlesztési tervet. Ide háromtizedes osztályátlag javulást írtam. Igazán örülnék a 2,5-es év végi átlagnak.
Szakiskolában is sok olyan tanuló van, akiknek nincs problémája a tananyaggal, műveletekkel, összefüggésekkel; sőt az osztályhoz viszonyítva magas színvonalon teljesítenek matematika órákon.
S persze a másik véglettel is törődni kell egy- egy órán, azokkal a tanulókkal, akik általános iskola 4., 5. osztályos tudással kerültek ide; s kilencedikben tudtam amennyit tudtam pótolni velük a felsős tananyagból.
Róluk szól a fejlesztési terv következő pontja:
Egyéni fejlesztési feladatok
Itt fogalmaztam meg név szerint, hogy kiket készítek fel versenyre; illetve milyen egyéni segítséget adok a hiányosságok pótlására, a korrepetálásra.
Ennek a fejlesztési tervnek a sablonját letöltheti innen:
Tanmenet
A fenti fejlesztési terv folytatása az éves tanmenet. E kettőnek összhangban kell lennie, s a tanmenetben meg kell jelennie a kiemelt fejlesztési feladatoknak a tervből.
Tanmenet sablont is készítettem, melyet letölthet innen:
Óravázlat
S hogy teljes legyen a bejegyzés, készítettem a tanórák vázlatának megírásához is sablont - olyat, amely nekem a legjobban bevált. Az óravázlat sablon letölthető innen:
Szorzás
Kompetencia alapú matematika oktatás – ha jól értettem, ez valami olyasmit jelent, hogy használható (a gyakorlati élet problémáinak megoldásában használható) tudást, képességeket szerez a gyermek matematika órákon.
Hirtelen nem tudnám megmondani, hogy az általános vagy középiskolás matematika tartalmak közül melyik nem-használható-tudás problémamegoldásban, de most azokat az alapokat szeretném összegyűjteni, amelyek nélkül nem boldogul egy diák a középiskolában.
Szerintem a következőket jelenti a matematikai kompetencia:
- a tanuló ismeri a számokat és azok tulajdonságait,
- a tanuló ismeri a számokkal végezhető eljárásokat és az eljárások tulajdonságait,
- a tanuló ismeri a síkidomokat, testeket és tulajdonságaikat,
- a tanuló ismeri a síkidomokkal, testekkel végezhető eljárásokat és az eljárások tulajdonságait.
Csak azokat a tanulókat engedném középiskolába, akik ismerik a természetes számokat, a négy alapműveletet, a műveleti tulajdonságokat. Akik ismerik a téglalapokat, hasábokat, tulajdonságaikat, a geometriai transzformációkat és tulajdonságaikat.
Ez így nagyon kevés tananyagtartalomnak tűnhet, ám szakiskolás és szakközépiskolás tapasztalataim szerint komoly hiányosságok mutatkoznak például a műveleti tulajdonságok ismerete és használata terén.
Ha a tanuló ismeri a számokkal, alakzatokkal végezhető műveletek tulajdonságait, akkor ki tudja választani közülük azt, amely egy adott probléma megoldását jelenti, jelentheti. A problémamegoldás azt a képességet takarhatja, hogy felismerjük, mely matematikai tulajdonság, összefüggés alkalmazásával szűntethetjük meg a problémát.
Például rendszerezőképességgel is akkor rendelkezik valaki, ha ismeri az elemek tulajdonságait, hiszen mindig tulajdonságok alapján rendszerezünk.
Vagy számolási készségről is akkor beszélhetünk, ha a műveleti tulajdonságokat alkalmazni tudja valaki. Vagyis a műveleti tulajdonságok segítségével egyszerűbbé, gyorsabban elvégezhetőbbé tudjuk tenni a feladatot.
Vagy a szabálykövetés képessége is akkor működik a tanulóban, ha szabályt, azaz tulajdonságot ismer fel, majd ezt alkalmazza újabb elemekre; vagy ki tudja választani, hogy adott elemek közül melyik rendelkezik még a tulajdonsággal.
Kommunikációs képességről is akkor beszélhetünk matematika órán, ha tulajdonságok segítségével kifejezi gondolatait, alátámasztja véleményét, bizonyítja állítását valaki.
Szorzás tulajdonságai
A szorzás mely műveleti tulajdonságainak ismeretére és alkalmazására van szükség középiskolában?
A művelet jelentése: a tanulók tudják, hogy az azonos tagokból álló összeadást szorzással írhatjuk le röviden.
Tudják, hogy a következő két (és hasonló) összeadás egyenlő: 3+3+3+3+3 és 5+5+5.
Tudják és fejszámolásban alkalmazzák is, hogy (például) 8*19 = 8*10 + 8*9, és hasonlókat. Vagy: 8*19 = 8*20 – 8. Vagy: 8*19 = 10*19 – 2*19.
A hatványozás miatt (is) fontos lenne az ilyen tulajadonságok ismerete és alkalmazása: 8*19 = 19*2*2*2.
Vagy ránézésre tudják eldönteni, hogy melyik a nagyobb: 8*19 vagy 8*17. Vagy (5+3)*19 illetve (5+4)*19. S hasonlókat. Nem beszélhetünk számolási készségről, ha az ilyen kérdésekben bizonytalanok a tanulók, és ha a mobiltelefonjukkal számolják ki az eredményt, s csak azután tudják a megfelelő relációjelet beírni.
A tanulók tudjanak fejben, írásban illetve számológéppel szorozni. Lehet, hogy mechanikusan el tudja végezni az írásbeli szorzást a diák, de nem látja a mögötte meghúzódó tulajdonságot: 234*7 = 200*7 + 30*7 + 4*7; vagy 234*27 = 200*20 + 30*20 + 4*20 + 200*7 + 30*7 + 4*7. Már pedig nem tudunk helyi értékes szöveges feladatokat meoldani kilencedikben enélkül.
A természetes számok közötti műveletek tulajdonságai, a szorzások visszaírása összeadásokra alapvető ismeret, ha működésüket nem értik a tanulók, akkor nem lehet újabb számhalmaz felé lépni – mondjuk a racionális számok megismerése felé. Mert a racionális számok kezeléséhez már az osztás tulajdonságait is biztonsággal kell ismernie egy tanulónak.
A tanár feladatai
Felkészülés a tanórákra
- A tanóra megtervezése, óravázlat készítése.
- Tanulási módszerek kiválasztása.
- A tanulási környezet kialakítása.
- Taneszközök begyűjtése, elkészítése.
- E-tananyag begyűjtése, elkészítése.
- Feladatlapok megírása.
- Dolgozatok összeállítása.
Tanórák
- Tanórák vezetése.
- A tanulók nyugodt órai munkájának biztosítása.
- Tanácsadás, segítés, motiválás.
- Egyéni tanulási problémák kezelése.
- A tanulói teljesítmények fejlesztő értékelése.
- Az egyének, a kiscsoportok, az osztály órai magatartásának, szorgalmának értékelése.
- Pozitív osztálytermi légkör kialakítása.
- Fegyelmezés, konfliktushelyzetek kezelése.
- A tanulói munkák ellenőrzése.
- Differenciálás egyéni képességek alapján.
- Házi feladatok kijelölése.
Tanórán kívüli feladatok
- Tanári ügyelet a szünetekben.
- Ügyelet a vizsgák idején.
- Diákönkormányzat munkájának segítése.
- Szakkör vezetése.
- Korrepetálások, egyéni fejlesztő foglalkozások vezetése.
- Felkészítés versenyekre.
- Projektnap tervezése, szervezése, lebonyolítása.
- Tehetséggondozás.
- Dolgozatok javítása.
- Vizsgáztatás.
- Viszgadolgozatok javítása, értékelése, szaktanári beszámoló megírása.
- Fejlesztési tervek készítése.
- Tanulói kérdőívek készítése, összesítése, elemzése.
- Részvétel a tantestületi értekezleteken, munkaközösségi értekezleteken, az egy osztályban tanító tanárok megbeszélésein, a fegyelmi tárgyalásokon.
Osztályfőnöki feladatok
- Adminisztrációs feladatok: osztálynapló naprakész vezetése; hiányzások vezetése, összesítése; osztálystatisztika elkészítése; tanulmányi statisztika elkészítése; tanulói törzslapok vezetése; bizonyítványok, ellenőrzők vezetése; szülői, jegyzői értesítések megírása.
- Részvétel az iskolai ünnepségek szervezésében, lebonyolításában (évnyitó, évzáró, szalagavató, ballagás, nemzeti ünnepek, egyéb megemlékezések).
- Táborok, erdei iskolák szervezése, megvalósítása.
- A tanulók egymás közötti kapcsolatainak formálása.
- Továbbtanulás segítése, pályaválasztási tanácsadás.
- Gyermekvédelmi feladatok ellátása.
- Segítségnyújtás a veszélyeztetett, illetve hátrányos helyzetű tanulóknak (veszélyeztetettség feltérképezése, kapcsolat a családsegítővel, az ifjúságvédelemmel; környezettanulmány írása).
- Állampolgári nevelés, erkölcsi nevelés, a személyiségfejlődés segítése.
- Együttműködés az iskolaorvossal, védőnővel, iskolapszichológussal.
- Egészségfejlesztés, felvilágosítás.
- Osztálykirándulások szervezése, lebonyolítása.
- Múzeum-, színház-, könyvtárlátogatások szervezése.
- Tanulásmódszertani segítségadás.
- Magatartás, szorgalom értékelése.
- Segítségnyújtás a tanulók egyéni problémáinak megoldásában.
- Közösségformálás.
Tanügyi dokumentumok
- Éves tanmenetek elkészítése.
- Részvétel a helyi tanterv, pedagógiai program elkészítésében.
- Részvétel az SZMSZ, házirend, minőségbiztosítási dokumentumok elkészítésében.
- Részvétel az iskola éves munkatervének elkészítésében.
- A vizsgák jegyzőkönyveinek, dokumentumainak elkészítése.
- Leltárnyilvántartás.
Kapcsolat a szülőkkel
- Szülői értekezletek, fogadóórák megtartása.
- Nyílt nap, nyílt órák tartása.
- Iskolai programok közös szervezése.
- Iskolaszék munkájában való részvétel.
- Szülői levelek, tájékoztatók megírása.
Szakmai munkaközösségek
- Részvétel az éves munkaközösségi munkaterv elkészítésében.
- Versenyek szervezése, a tanulói versenymunkák javítása, értékelése.
- Szakmai projektek készítése.
- Pályázatírás.
- Műhelymunka, teammunka.
- Tankönyvek kiválasztása.
Önképzés
- Továbbképzéseken, konferenciákon való részvétel.
- Az internetes oktatást segítő weblapok feltérképezése, használata.
- Szakirodalom nyomonkövetése (pedagógiai, szakmódszertani, szakmai).
- Jogi dokumentumok változásainak nyomonkövetése (törvények, rendeletek).
- Hazai, külföldi tanulmányutakon való részvétel, majd beszámoló, a tudás átadása.
- Publikáció.
- Óralátogatások, óraelemzések.
- Részvétel regionális teammunkában.
- Önértékelés, önreflexió.
Egyéb, komplex területek
- Mentor tanári feladatok.
- Vezetőtanári feladatok.
- Szaktanácsadói feladatok.
- Projektvezetői feladatok.
- Folyamatszabályozási feladatok.
- Tankönyv, munkatankönyv, munkafüzet írása.
- Részvétel pedagógiai, módszertani kísérletekben, fejlesztésekben.
- Részvétel a tanári monitoringban.
- Felnőttképzés, távoktatás, levelező és esti képzés.
Kooperatív tanulás
Kooperatív csoportmunka szervezésekor több előkészítő feladata is van a tanárnak.
- tananyag kiválasztása: bontható legyen négy egyenrangú részre, a négy egység önállóan elsajátítható legyen, ne egymásra épüljön;
- feladatlapok: az A, B, C, D feladatlapok gépelése, nyomtatása, fénymásolása;
- teszt: a csoportmunka eredményességét mérő teszt elkészítése, fénymásolása;
- tanterem: a tanterem előkészítése csoportmunkára;
- csoportalakítás: mely módszerrel alakítjuk ki a csoportokat;
- tájékoztatás: az osztály számára egyértelműen be kell mutatni a módszert, s közölni kell, mit várunk el a tanulóktól, s hogy a munka végeztével teszttel ellenőrizzük megszerzett tudásukat.
Az együttműködő tanulás előnye, hogy minden csoporttag egyenrangú a munkában, felelős saját tudásának átadásában, egyenlően vesznek részt a tagok a csoport jó teljesítményének megszerzésében.
Mozaik módszer
Az eredeti mozaik módszer Kagan: Kooperatív tanulás című könyvében olvasható. Egy kicsit leegyszerűsítve használom a módszert, hogy általános iskolásoknak és szakiskolásoknak is megfelelő legyen.
A tanóra során 4 fős csoportokban dolgozik az osztály. Csoporton belül mindenki más feladatlapot kap: A, B, C, D.
Első körben mind a 4 fő a saját tananyagát tanulja meg lapjáról, illetve jegyzeteli ki füzetébe. Megoldja az ő anyagához tartozó egyszerű feladatokat.
Második körben kezdődik egymás megtanítása a saját témára. Ez a következőket takarja:
- a tanuló saját szavaival elmagyarázza tananyagát társainak,
- leíratja velük egy mondatban a lényeget,
- feladja társainak mintapéldáit, és le is ellenőrzi a többiek megoldásait.
Harmadik lépésként tesztet írnak a gyerekek az adott tananyagból. Először csak csoporttesztet – azaz a 4 tanuló együtt tölti ki a lapot -, amíg meg nem szokják ezt a tanulási módszert a diákok.
Meg kell tapasztalniuk, hogy oda kell figyelni egymásra, meg kell érteni, amit a másik tanuló magyaráz, koncentrálni kell a mintapéldákra. Ezért az első időkben a csoport közösen tölti ki a tesztet.
A teszt értékelésében is érdemes fokozatosságot tartani: a hibátlanul megoldó csoport minden tagja egy-egy piros pontot kap. Később az egyéni tesztnél is ne mindjárt osztályozzunk. Bőven legyen idő piros pontok gyűjtögetésére, majd ötösre váltására.
Ez a módszer tehát olyan tananyagoknál használható, amelyek 4 egységre bonthatók, s ezek nem épülnek egymásra. Például:
- oszthatósági szabályok,
- függvény-ábrázolások, jellemzések,
- testek felszíne, térfogata,
- egybevágósági transzformációk.
A “Feladatlapok” oldalról letölthető az oszthatóság témakörben készült A, B, C, D feladatlapok és teszt.
Az alábbi hivatkozásokon további kooperatív módszerek leírásait találja:
Kooperatív tanulási formák a gyakorlatban
Szerkesztések és számítások
Geometria órákon olyan feladatok megbeszélése és megoldása a legfejlesztőbb, amelyekben egy alakzatot több szempontból vizsgálhatnak meg a tanulók. A megszerkesztett síkidom több tulajdonságának, adatainak és összefüggéseinek körbejárása az egységben-látást fejleszti.
Szerkesztési feladattal kezdeni egy geometria órát mindig motiváló, mert tevékenységet, eszközhasználatot jelent. Ha megszerkesztenek a tanulók egy 6cm és 8cm befogójú derékszögű háromszöget, akkkor milyen további kérdésekkel vesézhetjük ki az alakzatot?
A szerkesztés előtti vázlatkészítés és a szerkesztés menetének leírása – vagy csak számozása is a vázlaton – a rendszerezőképességet, a stratégiában való gondolkodást fejleszti.
A háromszög megszerkesztése után az átfogó kiszámítása következik Pitagorasz tételével. S ezután a háromszög kerületének, területének számítása jöhet.
Következő lépésként szerkesszék meg a tanulók a háromszög körülírható körét. Majd számítsák ki a kör sugarát, kerületét, területét.
Aztán ugyanezt a beírható körrel: szerkesszék meg, számítsák ki a beírható kör sugarát, kerületét, területét.
Az eddigi lépésekben rengeteg geometriai összefüggést kellett alkalmazniuk a diákoknak: 90°-os szög szerkesztése, oldalfelező merőlegesek és szögfelezők szerkesztése, Pitagorasz-tétel, Thalész-tétel alkalmazása, külső pontból húzott érintőszakaszok hossza egyenlő, egyenlet megoldása, háromszög és kör kerülete, területe.
S ha mindezt gyorsan és ügyesen megvalósították a tanulók, akkor kiléphetünk a térbe is: a háromszög egy 20cm magas egyenes hasáb alaplapja: szerkesszék meg a test hálójának kicsinyített képét, számítsák ki a felszínét és a térfogatát.
Szakiskolában ez már jóval több munka, mint ami egy tanórába belefér. Egy ilyen órán többféle munkaforma is előfordul: a szerkesztés menetét frontálisan beszéljük meg, magát a szerkesztést önállóan végzik a tanulók, a számítási feladatokat pármunkában oldhatják meg a szomszédok.
Szakközépiskolában még további összeefüggéseket lehet csatoli a feladathoz: számítsák ki az átfogóhoz tartozó magasságot az átfogó és a terület segítségével, majd a befogótétellel kiszámítjuk az átfogó két szeletét is.
Az ilyen komplex feladatok a tantárgy belső összefüggéseit erősítik meg a tanulókban.
Hatványozás
A hatványozás műveletével általános iskola hatodik, hetedik évfolyamán ismerkednek a tanulók. Amikor egy új műveletet, fogalmat, összefüggést kezdünk el tanítani, akkor sajátítják el könnyedén a diákok, ha konkrét, elképzelhető, filmszerűen lepörgethető gyakorlati példákon keresztül közelítjük meg az új tartalmat.
A másik fontos szempont a fokozatosság betartása az életkori sajátosságok miatt, amit nem kell külön hangsúlyozni.
Amikor csak lehetséges tanulói tevékenységek vezessék be az új fogalmakat, összefüggéseket, hogy tapasztalati úton alakíthassák ki a tanulók a hatványozás fogalmait, tulajdonságait:
- azonos tényezőjű szorzatokat írhatunk fel hatványalakban,
- állandó alap mellett a kitevő változása mit “okoz”,
- állandó kitevő mellett az alap változása mit “okoz”,
- az első hatvány maga a szám, az alap,
- nulladik kitevő jelentése megállapodás,
- és a művelet további tulajdonságai, azonosságai.
Minél változatosabbak legyenek ezek a gyakorlati példák, amelyekkel megerősítjük az új tartalmat és tulajdonságait.
Ezekből a szempontokból nézzük most a hatványozás tanítását.