Matematika módszertan

Az OFI honlapján található cikkre szeretném felhívni a figyelmet. Témája az Országos Kompetenciamérés tartalma és a matematikai eszköztudás. Idézet:

“A matematikai eszköztudás magában foglalja

• az egyénnek azt a képességét, amelynek segítségével megérti és elemzi a matematika szerepét a valós világban;
• a matematikai eszköztár készségszintű használatát;
• az elsajátított matematikai tudás valós élethelyzetekben való alkalmazásának igényét és az erre való képességet;
• a matematikai eszközök használatát a társadalmi kommunikációban és együttműködésben az egyén életkorának megfelelő szinten.

A matematikai eszköztudás felmérésekor tehát elsősorban a hétköznapi életben is előforduló feladatokkal találkoznak a tanulók, és az azokban vázolt valós problémákat meglévő matematikai képességeik és az iskolában, valamint a mindennapokban szerzett készségeik segítségével kell megoldaniuk. Ilyen valós probléma lehet például a pénzügyek intézése, az utazás, a természeti jelenségek változását mutató adatsorok és ábrázolásuk értelmezése.”
http://www.ofi.hu/tudastar/hazai-fejlesztesi/balazsi-ildiko-felvegi

Ezután az Országos Kompetenciamérés feladatainak tartalmi területeit részletezi a szerző: mennyiségek és műveletek, hozzárendelések és összefüggések, alakzatok síkban és térben, események statisztikai jellemzői és valószínűsége.

Ezekhez a tartalmi területekhez rendeli a matematika tantervi területeit: számolás, mérés, algebra, függvények, sorozatok, halmazok, logika, geometria, kombinatórika, valószínűség, leíró statisztika, gráfok.

A feladatok megoldásához szükségek készségek és képességek elemzése, a gondolkodási műveletek tartalma következik.

S végül a gondolkodási műveletek / tartalmi területek táblázatban (tesztmátrix) százalékos formában szerepelnek az OKM tesztek tartalmi arányai.

1. Matematikai eszköztudás

• Az összeadás, a kivonás, a szorzás, az osztás, a százalékszámítás, a törtek, a mértékegységátváltás használata a mindennapi életben felmerülő problémák megoldásában (például vásárlás, utazás).

2. Matematikai jelek és képletek használata

3. Matematikai érvelés és gondolkodás (absztrakció, modellezés); indoklás követése, értékelése

• Gondolkodási alapműveletek: analízis, szintézis, absztrahálás, összehasonlítás, összefüggés felfogása, kiegészítés, általánosítás, konkretizálás, rendezés, analógia

4. Kritikai gondolkodás

• Összevetéseket végez a tanuló a szöveg és a matematikai tartalom, a kérdés és a saját válasza, az eredmény és a realitások között.
• Kerekített értékekkel megecsüli a várható eredményt s ezt önellenőrzéshez használja.

5. Segédeszközök, informatikai eszközök használata

A matematikai problémák közül az egyik leggyakorlatiasabb a területszámítással kapcsolatos kérdések csokra.

A terület értelmezésétől, a mértékváltáson át, a külöböző testek lapjai területének kiszámításáig változatos lehetőségek adódnak a kompetenciafejlesztésre.

A terület értelmezése

Síkidomok területének meghatározásakor összehasonlítást végzünk. Mint minden mérés esetében, itt is választunk egy egységet, ez lesz az egység oldalú négyzetlap. Majd megszámláljuk, hogy hány darab ilyen egységterülettel fedhető le a síkidom – hézagmentesen, átfedésmentesen.

Ezt a meghatározást könnyedén lejátszhatják matematika órákon a gyerekek: elegendő mennyiségű 1cm, illetve 1dm oldalú négyzetlap kell hozzá.

Először egész oldalhosszúságú négyzetlapokat, téglalapokat fedjenek le. Majd később jöhetnek a háromszöglapok, paralelogrammalapok, ahol már átdarabolás vagy kiegészítés szükséges a lefedések előtt.

Pármunkában nézzék meg a tanulók azt is, hogy egybevágó síkidomok területe egyenlő.

Valószínűleg elég lesz egyszer kirakni a területét egybevágó téglalapoknak, háromszöglapoknak – nagyon nyilvánvaló észrevételről van szó. De látniuk kell a gyerekeknek, s nekik kell megfogalmazni a tapasztalatokat.

Csoportmunkában érdemes megnézni azt is, hogy ha egy síkidomot véges számú darabra bontunk, akkor a részek területének összege egyenlő az eredeti területtel.

A csoport egyik tagja az eredeti téglalapot, háromszöglapot fedi le, másik két tag pedig egy-egy részt. Ismét a tanulóktól kérjük a megfigyelések és következtetések megfogalmazását.

Ezeken az értelmező órákon a kulcskompetenciák közül az anyanyelvi kommunikációt, a matematikai és természettudományos kompetenciákat, a személyközi és a tanulási kompetenciákat edzük.

A kísérletezem –> megfigyelek –> következtetek –> leellenőrzöm cselekvéslánc nagyon eredményes tanulási módszer.

A terület mértékegységei

A terület alapmértékegysége az 1m oldalú négyzetlap, jele: 1m².

Lefedésekkel győződjenek meg a tanulók arról, hogy 1m² = 100dm²; illetve 1dm² = 100cm².

Az idegen nyelvű kommunikáció kulcskompetencia fejlesztéséhez is hozzájárulhatunk matematika órán: különböző nemzeti mértékek megbeszélésével, alkalmazásával feladatokban.

Nem csak a szóbeli kommunikáción van a hangsúly ilyenkor, hanem a jelrendszerben, jelölésrendszerben való eligazodáson is.

Az általános kultúra kompetenciaterület fejlesztésébe is bekapcsolódunk a régi és a nemzeti mértékegységek megismerésével.

Területszámítás

A területszámítás gyakorlatias problémáival érdemes kezdeni:

» lakás kifestése, parkettázása, tapétázása,
» telekvásárlás, lakásvásárlás,
» földterületek összehasonlítása, terméshozama,
» lámpák által megvilágított terület,
» országok, megyék területe; átlagok, arányok,
» helyiségek bérlése m2 alapon,
» A2, A3, A4, A5 lapok területe (oldalmérés –> számítás –> összehasonlítás –> összefüggés megfogalmazása)
» állatok territórium igénye,
» mérések, számítások a környezetben (játszótéren, parkban, iskolaudvaron).

Itt már egyértelműen a matematikai kompetenciák erősítése a főszereplő, mégpedig a matematikai eszköztudás elemeinek fejlesztése: négy alapművelet, százalékszámítás, törtek alkalmazása.

A szóbeli és írásbeli kommunikáció illetve a személyközi kompetenciák fejlesztése csoportmunkák során valósul meg: mérési és számítási feladatok megosztása, eredmények rögzítése, egyeztetése; meggyőzés, magyarázat, érvelés a csoporttagok között.

Ha lehetőség van a mérési eredmények Excel-táblázatban való rögzítésére, akkor a tanulók képlet beszúrásával számoltathatnak területet – ez már a digitális kompetencia fejlesztéséhez tartozik. Excelben a mértékegység átváltásokra is készíthetnek a diákok táblázatot, vagy az internetes keresési feladatok is ehhez a kompetenciaterülethez tartoznak.

Az egyik fontos tanulási kompetencia, hogy képesek legyünk egy probléma megoldásához szükséges eszközöket kiválasztani:

» számológép, számítógép,
» szoftvert,
» mérőeszközöket,
» kísérleti eszközöket,
» rögzítési módszert (felsorolás, táblázat, folyamatábra, fogalomtérkép, stb.)
A területszámítás témakörben mindegyikre adhatunk mintát a tanulóknak.

A következő linkeken online mértékegység átváltásokra van lehetőség. Érdemes ezeket az oldalakat használni, ha összehasonlítási vagy sorrendezési feladatot adunk, mert így nem megy el az idő az átszámítgatásokra. Az önellenőrzéshez is kiválóak.

http://www.agt.bme.hu/tantargyak/web/atvalt.html

http://www.pasztorvolgyi.sulinet.hu/zsolt/klte/mert_atv/merteke.htm

http://hauser.pmmf.hu/mertekegyseg/megysegvalto/index.htm

http://hmika.freeweb.hu/Lexikon/Html/Terulet.htm

http://autotuning.lapunk.hu/?modul=oldal&tartalom=54798

http://www.europages.co.hu/epmp-web/app?page=PTConverter/PTArea&service=page

Hasznos még önálló kutatáshoz, projekthez (régi magyar, angolszász, görög, stb. mértékegységek és átváltásuk):

http://www.kisbiro.hu/modules.php?name=Info&file=mertekek

A százalékszámítás tanítása, tanulása általános iskola felső tagozatától szakiskola tízedik évfolyamáig húzódik. 

Szakiskolában csak olyan gyerekekkel találkozom, akiknek újra és újra definiálnom kell, hogy a százalék jelentése századrész. Századrészt pedig 100-zal való osztással számolunk. Ha pedig 1%-nál többre van szükségünk, akkor az 1%-ot szorozzuk a százaléklábbal.

Nagyon elgondokodtató, hogy mi ez a zűrzavar a tanulók fejében a törtrész, százalék témakörben. Nem áll össze a kép a nebulók fejében, hogy 1/2 rész – 0,5 rész – 50% ugyanazt jelenti; s pláne, hogy ugyanúgy kell kiszámolni.

Amikor azt mondtam a tanítványomnak, hogy üsse be a számológépbe az 1/2-et, csak nézett meglepődve – törtet nem lehet begépelni. Rákérdeztem, hogy milyen művelet van az 1 és a 2 között. “Nem tudom”. S rá kell kérdeznem, hogy a törtvonal milyen műveletet jelent. Csak ezután tudta, hogy osztást kell írnia.

Ilyen problémákkal küzdünk, hogy 1/2=1:2. Újra fel kell építeni a századrész fogalmát. De hogyan?

Végső célként a százalékszámítás lebeg a szemem előtt, ezért olyan eszközt kerestem, ami 100 egyenlő részre van osztva. Így a bevezető feladatokhoz alkalmas az 1dm-es vonalzó, vagy a 10cm oldalú négyzetlap. Lényeg, hogy megfogható, leolvasható, beszínezhető legyen a századrésze.

A másik szempont, hogy mind a három alakot használjuk párhuzamosan: törtalak, tizedes tört alak, százalékalak. Illetve, hogy a fokozatosságot is betartsuk:

1/100 dm =

0,01dm =

1dm 1%-a =

S a deciméteres vonalzó segítségével le is kell rajzolniuk a füzetbe az 1mm-t. Vagy a négyzetlapon beszínezni az 1 egységnégyzetet. Azután jön a 2%:

2/100 dm =

0,02 dm =

1 dm 2%-a =

És így tovább, ahány konkrét példára csak szüksége van a tanulóknak a törtrészek megértéséhez, illetve a tizedestört alak használatához.

A következő fokozat lehet, hogy a négyzetlaphoz, vonalzóhoz értéket rendelünk. Pédául: a négyzetlap 800 Ft, hány forint a beszínezett része?

Következő fokozat lehet, hogy a négyzetlapból kivágunk egy vagy több egységnégyzetet: hány %-kal csökkent a területe, vagy az értéke; hány %-a maradt meg, hány forint így a maradék lap, stb.

A következő fokozat lehet, hogy 1%-ot 0,01-dal való szorzással számolunk; 2%-ot 0,02-dal való szorzással számolunk, stb. S konkrét értékekre, illetve először a 800 Ft-os négyzetlapra, végigszámolni a tizedes törttel való szorzásokat. Megint az a lényeg, hogy bőségesen álljon rendelkezésre konkrét példa a tizedes tört alak használatára.

Sok időre van szükség a százalékszámítás megértéséhez, s hogy változatos példákból a tanulók kialakítsák magukban ennek a műveletnek a sémáját. A téves analógiák elkerülése érdekében szükséges, hogy sokféle alapnak, mennyiségnek lerajzolják, kiszámítsák, kirakják, stb. az 1%-át.

Másfelől ugyanannak az alapnak a sokféle százalékát is számolják ki a tanulók, hogy ráérezzenek az egyenes arányosságra. Tehát mind az alap, mind a százalékláb jelentését bőséges példák során tapasztalják meg a tanulók.

S csak ezek után térhetünk rá a fordított kérdésre: minek az 1%-a 8Ft? De ugyanilyen apró, először eszközökkel végzett, lépésekben. Megintcsak sok-sok konkrét példa során juthatunk el oda, hogy osztással számoljuk ki az alapot.

Az osztás műveleti tulajdonságainak ismerete, alkalmazása szükséges a törtek megértéséhez.

Akkor mondhatjuk, hogy kialakult számolási készség az osztás műveletével, ha a tanuló felismeri és alkalmazza (például), hogy 12:5 + 8:5 = 20:5. S ennek fordítottját is, például 128:4 = 120:4 + 8:4. Ezek az azonos nevezőjű törtek  összeadására vonatkozó műveleti szabályok.

Úgyanígy a kivonás esetén is: 30:7 – 2:7 = 28:7; s fordítva is. Olyan számfeladatokat, tevékenységeket és szöveges feladatokat készítsünk a tanulóknak, melyekből leszűrheti, kikövetkeztetheti, megalkothatja magában ezeket az összefüggéseket.

Például:

• 12:9 + 21:9 – 6:9 =
• 25 dm-es szalagot elosztani 8 tanuló között, majd 11 dm-es szalagot elosztani a 8 tanuló között – hány dm szalag lesz 1 tanulónál,
• hétfőn 30 pohár tejet osztunk el az osztály 20 tanulójának, kedden 40 pohárral, szerdán 50 pohárral. Így hány pohár tejet kapott egy tanuló?
• stb.

Az osztás következő tulajdonsága a törtek bővítésének, egyszerűsítésének megértéséhez szökséges. Például: 42:14 = 21:7. Sok-sok hasonló feladattal, gyakorlattal készíthetjük elő a törtegyszerűsítést, -bővítést, s aztán a közös nevezőre hozást.

Például: 42 almát osztunk el 14 tanuló között. Ekkor egy diák ugyannyi almát kap, mint amikor 21 almát osztunk el 7 tanuló között.

Vagy: 1 méteres szalagot 4-felé osztva ugyanannyit kapunk, mint 2 méteres szalagot 8-felé osztva -> 1:4 = 2:8.

Felkészülés a tanórákra 

• A tanóra megtervezése, óravázlat készítése.
• Tanulási módszerek kiválasztása.
• A tanulási környezet kialakítása.
• Taneszközök begyűjtése, elkészítése.
• E-tananyag begyűjtése, elkészítése.
• Feladatlapok megírása.
• Dolgozatok összeállítása.

Tanórák

• Tanórák vezetése.
• A tanulók nyugodt órai munkájának biztosítása.
• Tanácsadás, segítés, motiválás.
• Egyéni tanulási problémák kezelése.
• A tanulói teljesítmények fejlesztő értékelése.
• Az egyének, a kiscsoportok, az osztály órai magatartásának, szorgalmának értékelése.
• Pozitív osztálytermi légkör kialakítása.
• Fegyelmezés, konfliktushelyzetek kezelése.
• A tanulói munkák ellenőrzése.
• Differenciálás egyéni képességek alapján.
• Házi feladatok kijelölése.

Tanórán kívüli feladatok

• Tanári ügyelet a szünetekben.
• Ügyelet a vizsgák idején.
• Diákönkormányzat munkájának segítése.
• Szakkör vezetése.
• Korrepetálások, egyéni fejlesztő foglalkozások vezetése.
• Felkészítés versenyekre.
• Projektnap tervezése, szervezése, lebonyolítása.
• Tehetséggondozás.
• Dolgozatok javítása.
• Vizsgáztatás.
• Viszgadolgozatok javítása, értékelése, szaktanári beszámoló megírása.
• Fejlesztési tervek készítése.
• Tanulói kérdőívek készítése, összesítése, elemzése.
• Részvétel a tantestületi értekezleteken, munkaközösségi értekezleteken, az egy osztályban tanító tanárok megbeszélésein, a fegyelmi tárgyalásokon.

Osztályfőnöki feladatok

• Adminisztrációs feladatok: osztálynapló naprakész vezetése; hiányzások vezetése, összesítése; osztálystatisztika elkészítése; tanulmányi statisztika elkészítése; tanulói törzslapok vezetése; bizonyítványok, ellenőrzők vezetése; szülői, jegyzői értesítések megírása.
• Részvétel az iskolai ünnepségek szervezésében, lebonyolításában (évnyitó, évzáró, szalagavató, ballagás, nemzeti ünnepek, egyéb megemlékezések).
• Táborok, erdei iskolák szervezése, megvalósítása.
• A tanulók egymás közötti kapcsolatainak formálása.
• Továbbtanulás segítése, pályaválasztási tanácsadás.
• Gyermekvédelmi feladatok ellátása.
• Segítségnyújtás a veszélyeztetett, illetve hátrányos helyzetű tanulóknak (veszélyeztetettség feltérképezése, kapcsolat a családsegítővel, az ifjúságvédelemmel; környezettanulmány írása).
• Állampolgári nevelés, erkölcsi nevelés, a személyiségfejlődés segítése.
• Együttműködés az iskolaorvossal, védőnővel, iskolapszichológussal.
• Egészségfejlesztés, felvilágosítás.
• Osztálykirándulások szervezése, lebonyolítása.
• Múzeum-, színház-, könyvtárlátogatások szervezése.
• Tanulásmódszertani segítségadás.
• Magatartás, szorgalom értékelése.
• Segítségnyújtás a tanulók egyéni problémáinak megoldásában.
• Közösségformálás.

Tanügyi dokumentumok

• Éves tanmenetek elkészítése.
• Részvétel a helyi tanterv, pedagógiai program elkészítésében.
• Részvétel az SZMSZ, házirend, minőségbiztosítási dokumentumok elkészítésében.
• Részvétel az iskola éves munkatervének elkészítésében.
• A vizsgák jegyzőkönyveinek, dokumentumainak elkészítése.
• Leltárnyilvántartás.

Kapcsolat a szülőkkel

• Szülői értekezletek, fogadóórák megtartása.
• Nyílt nap, nyílt órák tartása.
• Iskolai programok közös szervezése.
• Iskolaszék munkájában való részvétel.
• Szülői levelek, tájékoztatók megírása.

Szakmai munkaközösségek

• Részvétel az éves munkaközösségi munkaterv elkészítésében.
• Versenyek szervezése, a tanulói versenymunkák javítása, értékelése.
• Szakmai projektek készítése.
• Pályázatírás.
• Műhelymunka, teammunka.
• Tankönyvek kiválasztása.

Önképzés

• Továbbképzéseken, konferenciákon való részvétel.
• Az internetes oktatást segítő weblapok feltérképezése, használata.
• Szakirodalom nyomonkövetése (pedagógiai, szakmódszertani, szakmai).
• Jogi dokumentumok változásainak nyomonkövetése (törvények, rendeletek).
• Hazai, külföldi tanulmányutakon való részvétel, majd beszámoló, a tudás átadása.
• Publikáció.
• Óralátogatások, óraelemzések.
• Részvétel regionális teammunkában.
• Önértékelés, önreflexió.

Egyéb, komplex területek

• Mentor tanári feladatok.
• Vezetőtanári feladatok.
• Szaktanácsadói feladatok.
• Projektvezetői feladatok.
• Folyamatszabályozási feladatok.
• Tankönyv, munkatankönyv, munkafüzet írása.
• Részvétel pedagógiai, módszertani kísérletekben, fejlesztésekben.
• Részvétel a tanári monitoringban.
•  Felnőttképzés, távoktatás, levelező és esti képzés.