Matematika módszertan

A másodfokú egyenletek tanítása előtt néhány ismeret, képesség meglétéről érdemes meggyőződni. Melyek azok az előismeretek, amelyek megléte szükséges a témakör elsajátításához?

Az általános iskolás összefüggésektől indulva, a kilencedikes témákig:

• műveleti sorrend ismerete
• előjel-szabályok ismerete
• a tanuló képes adatokat behelyettesíteni képletbe
• a tanuló képes számológépével helyettesítési értéket számolni
• a négyzetgyökvonás értelmezési tartományának ismerete a valós számok halmazában
• képes másodfokú függvényt ábrázolni, tulajdonságait leolvasni.

Ezeket a képességeket érdemes gyakoroltatni a témakör elején.

Mivel a megoldóképlet egy törtes kifejezés, így a diákoknak biztonsággal tudniuk kell műveleteket végezni törtekkel, illetve törtet egyszerűsíteni. Erre különösen akkor van szükség, amikor a gyökök és együtthatók közötti összefüggések jönnek.

Mélyíti a tudást, ha előzetesen sokféle képletbe helyettesítenek be a tanulók. A változatosság arra ad lehetőséget, hogy bővítsék tapasztalataikat a műveletek “viselkedéséről”, tulajdonságairól .

A százalékszámítás tanítása, tanulása általános iskola felső tagozatától szakiskola tízedik évfolyamáig húzódik. 

Szakiskolában csak olyan gyerekekkel találkozom, akiknek újra és újra definiálnom kell, hogy a százalék jelentése századrész. Századrészt pedig 100-zal való osztással számolunk. Ha pedig 1%-nál többre van szükségünk, akkor az 1%-ot szorozzuk a százaléklábbal.

Nagyon elgondokodtató, hogy mi ez a zűrzavar a tanulók fejében a törtrész, százalék témakörben. Nem áll össze a kép a nebulók fejében, hogy 1/2 rész – 0,5 rész – 50% ugyanazt jelenti; s pláne, hogy ugyanúgy kell kiszámolni.

Amikor azt mondtam a tanítványomnak, hogy üsse be a számológépbe az 1/2-et, csak nézett meglepődve – törtet nem lehet begépelni. Rákérdeztem, hogy milyen művelet van az 1 és a 2 között. “Nem tudom”. S rá kell kérdeznem, hogy a törtvonal milyen műveletet jelent. Csak ezután tudta, hogy osztást kell írnia.

Ilyen problémákkal küzdünk, hogy 1/2=1:2. Újra fel kell építeni a századrész fogalmát. De hogyan?

Végső célként a százalékszámítás lebeg a szemem előtt, ezért olyan eszközt kerestem, ami 100 egyenlő részre van osztva. Így a bevezető feladatokhoz alkalmas az 1dm-es vonalzó, vagy a 10cm oldalú négyzetlap. Lényeg, hogy megfogható, leolvasható, beszínezhető legyen a századrésze.

A másik szempont, hogy mind a három alakot használjuk párhuzamosan: törtalak, tizedes tört alak, százalékalak. Illetve, hogy a fokozatosságot is betartsuk:

1/100 dm =

0,01dm =

1dm 1%-a =

S a deciméteres vonalzó segítségével le is kell rajzolniuk a füzetbe az 1mm-t. Vagy a négyzetlapon beszínezni az 1 egységnégyzetet. Azután jön a 2%:

2/100 dm =

0,02 dm =

1 dm 2%-a =

És így tovább, ahány konkrét példára csak szüksége van a tanulóknak a törtrészek megértéséhez, illetve a tizedestört alak használatához.

A következő fokozat lehet, hogy a négyzetlaphoz, vonalzóhoz értéket rendelünk. Pédául: a négyzetlap 800 Ft, hány forint a beszínezett része?

Következő fokozat lehet, hogy a négyzetlapból kivágunk egy vagy több egységnégyzetet: hány %-kal csökkent a területe, vagy az értéke; hány %-a maradt meg, hány forint így a maradék lap, stb.

A következő fokozat lehet, hogy 1%-ot 0,01-dal való szorzással számolunk; 2%-ot 0,02-dal való szorzással számolunk, stb. S konkrét értékekre, illetve először a 800 Ft-os négyzetlapra, végigszámolni a tizedes törttel való szorzásokat. Megint az a lényeg, hogy bőségesen álljon rendelkezésre konkrét példa a tizedes tört alak használatára.

Sok időre van szükség a százalékszámítás megértéséhez, s hogy változatos példákból a tanulók kialakítsák magukban ennek a műveletnek a sémáját. A téves analógiák elkerülése érdekében szükséges, hogy sokféle alapnak, mennyiségnek lerajzolják, kiszámítsák, kirakják, stb. az 1%-át.

Másfelől ugyanannak az alapnak a sokféle százalékát is számolják ki a tanulók, hogy ráérezzenek az egyenes arányosságra. Tehát mind az alap, mind a százalékláb jelentését bőséges példák során tapasztalják meg a tanulók.

S csak ezek után térhetünk rá a fordított kérdésre: minek az 1%-a 8Ft? De ugyanilyen apró, először eszközökkel végzett, lépésekben. Megintcsak sok-sok konkrét példa során juthatunk el oda, hogy osztással számoljuk ki az alapot.

Az osztás műveleti tulajdonságainak ismerete, alkalmazása szükséges a törtek megértéséhez.

Akkor mondhatjuk, hogy kialakult számolási készség az osztás műveletével, ha a tanuló felismeri és alkalmazza (például), hogy 12:5 + 8:5 = 20:5. S ennek fordítottját is, például 128:4 = 120:4 + 8:4. Ezek az azonos nevezőjű törtek  összeadására vonatkozó műveleti szabályok.

Úgyanígy a kivonás esetén is: 30:7 – 2:7 = 28:7; s fordítva is. Olyan számfeladatokat, tevékenységeket és szöveges feladatokat készítsünk a tanulóknak, melyekből leszűrheti, kikövetkeztetheti, megalkothatja magában ezeket az összefüggéseket.

Például:

• 12:9 + 21:9 – 6:9 =
• 25 dm-es szalagot elosztani 8 tanuló között, majd 11 dm-es szalagot elosztani a 8 tanuló között – hány dm szalag lesz 1 tanulónál,
• hétfőn 30 pohár tejet osztunk el az osztály 20 tanulójának, kedden 40 pohárral, szerdán 50 pohárral. Így hány pohár tejet kapott egy tanuló?
• stb.

Az osztás következő tulajdonsága a törtek bővítésének, egyszerűsítésének megértéséhez szökséges. Például: 42:14 = 21:7. Sok-sok hasonló feladattal, gyakorlattal készíthetjük elő a törtegyszerűsítést, -bővítést, s aztán a közös nevezőre hozást.

Például: 42 almát osztunk el 14 tanuló között. Ekkor egy diák ugyannyi almát kap, mint amikor 21 almát osztunk el 7 tanuló között.

Vagy: 1 méteres szalagot 4-felé osztva ugyanannyit kapunk, mint 2 méteres szalagot 8-felé osztva -> 1:4 = 2:8.

A hatványozás műveletével általános iskola hatodik, hetedik évfolyamán ismerkednek a tanulók. Amikor egy új műveletet, fogalmat, összefüggést kezdünk el tanítani, akkor sajátítják el könnyedén a diákok, ha konkrét, elképzelhető, filmszerűen lepörgethető gyakorlati példákon keresztül közelítjük meg az új tartalmat.

A másik fontos szempont a fokozatosság betartása az életkori sajátosságok miatt, amit nem kell külön hangsúlyozni.

Amikor csak lehetséges tanulói tevékenységek vezessék be az új fogalmakat, összefüggéseket, hogy tapasztalati úton alakíthassák ki a tanulók a hatványozás fogalmait, tulajdonságait:

- azonos tényezőjű szorzatokat írhatunk fel hatványalakban,
- állandó alap mellett a kitevő változása mit “okoz”,
- állandó kitevő mellett az alap változása mit “okoz”,
- az első hatvány maga a szám, az alap,
- és a művelet további tulajdonságai, azonosságai.

Minél változatosabbak legyenek ezek a gyakorlati példák, amelyekkel megerősítjük az új tartalmat és tulajdonságait.

Ezekből a szempontokból nézzük most a hatványozás tanítását.

Néhány tevékenység, játék, amelyekkel a hatványozás műveletét vezethetjük be:

Számkártyákkal az összes kétjegyű, háromjegyű, négyjegyű, stb. természetes szám kirakása, amelyekben csak 1-es, 2-es, 3-as számjegy szerepel; (kevesebb, illetve több számjeggyel is);

‘Totó’-szelvényeket készítünk, 2 mérkőzésre, 3 mérkőzésre, 4 méskőzésre, stb., s a lehetséges módokon kitölteni, s az összes lehetőség megadása;

Négyzetlapok lefedése egységnégyzetekkel, illetve kockák kirakása egységkockákkal, s a szükséges egységek száma a kérdés;

Családfa készítése különböző mélységekig, s az ősök száma a kérdés;

Papírlap folytatólagos félbehajtása egyszer, kétszer, háromszor, stb., és a rétegek száma, vagy a vastagság a kérdés (ha az eredeti lap 0,1mm vastag).

Leggyakrabban 10 hatványait használjuk a gyakorlati életben, például normálalakban vagy mértékegység átváltásoknál. Amennyiben lehetséges mérés órák is kerüljenek a témakör elejére: hosszúság, terület, térfogat, űrmértékek, tömeg egységeinek használata konkrét mérési feladtokban, majd az átváltások 10 hatványalakjaival.

Egyébként a mértékegység átváltások rendkívül bizonytalanok a szakiskolásoknál, nem tudják a váltószámokat, vagy azt, hogy szorozzanak, vagy osszanak a váltószámmal. Egy konkrét példa:

Egy radír tömegét kellett megmérniük a gyerekeknek, s bár a serpenyőbe először berakott súlyok látványosan lehúzták a radírt, mégis a tanuló még egy 10 grammos egységet rakott a többi súly mellé. Nagyon meglepődött, hogy a serpenyő továbbra sem emelkedik az egyensúlyig.

Mérési feladatokat térképen is végeztessünk a tanulókkal, hogy használják a valódi távolság kiszámításához a méretarányt. Illetve a fokozatosság mentén haladva: a méretarány normálalakjával is dolgozzanak.

A Letöltések oldalra feltettem a Fantasztikus utazás című ppt bemutatót – az interneten kaptam egy lánclevélben, de 10 hatványai változásának jelentését kiválóan bemutatja. Valamint egy mértékváltásokat gyakoroltató feladatsort is letölthet az oldalról.

Az újonnan érkező középiskolásokkal mindig alaposan át kell ismételni a közös nevezőre hozást, a törtbővítést – s ezek előtt az osztás idevágó tulajdonságát. Valójában azért nem értik a törtbővítést, mert nem értik az osztás műveleti tulajdonságait.

Olyan egyszerű kérdésekkel kezdünk, mint például:

12:3 = 24:?

Nem látják, hogy kétszer akkora osztandót írtam, s hogy ugyanazt az eredményt kapjuk, nekik kétszeresére kell változtatni az osztót. Kiszámoljuk a baloldalt, s utána kérdezem meg, hogy melyik szám van meg 4-szer a 24-ben.

Sok ehhez hasonló példa után – egész számok a hányadosok – fogalmazzuk meg azt a szabályt, hogy ha az osztandó és az osztó is ugyanannyiszorosára változik, akkor a hányados nem változik.

Ezután átírjuk az osztás jelét törtvonalra:

12/3 = 24/6; stb.

Ezek után térünk át olyan osztásokra, ahol nem egész a hányados:

1:2 = 3:?

Hogy el tudják képzelni az ilyen osztásokat rajzokat készítünk: ha egy dinnyét két gyerek között osztunk el, akkor ugyanannyit eszik egy gyerek, mint amikor 3 dinnyét 6 gyerek között osztunk szét.

Több ilyen példa után ismét megerősítjük, hogy a hányados nem változik, ha az osztandót is és az osztót is ugyanannyiszorosára változtatjuk.

Majd megint végigmegyünk az osztásokon, s az osztás jelére a törtvonalat használjuk:

1/2 = 3/6.

S amikor a konkrét példákat már jól oldják meg egyedül is a tanulók, akkor általánosítunk:

- Ha a:b = c, akkor mennyi lesz 2a:(2b)?

Ha itt a tanulók nem suttogják halkan, hogy 2c, akkor nyert ügyünk van. Bátortalanul, de elhangzik, hogy c.

Folytatjuk még egy-két példával a sort, majd használjuk a törtvonalat:

a/b = 2a/(2b) = 3a/(3b) = …. = c

S amikor ezt a tulajdonságot a tanulók saját szavaikkal megfogalmazzák, egy kis időre megnyugodhatunk. A következő lépés pedig az lesz, hogy az előbbi sort ne csak balról jobbra tudják alkalmazni (törtbővítés), hanem jobbról balra is (egyszerűsítés). Ez már gördülékenyen szokott menni.