‘algebra’ kategória archívum

Örökzöld probléma a törtbővítés

2010. február 7. vasárnap

Az újonnan érkező középiskolásokkal mindig alaposan át kell ismételni a közös nevezőre hozást, a törtbővítést – s ezek előtt az osztás idevágó tulajdonságát. Valójában azért nem értik a törtbővítést, mert nem értik az osztás műveleti tulajdonságait.

Olyan egyszerű kérdésekkel kezdünk, mint például:

12:3 = 24:?

Nem látják, hogy kétszer akkora osztandót írtam, s hogy ugyanazt az eredményt kapjuk, nekik kétszeresére kell változtatni az osztót. Kiszámoljuk a baloldalt, s utána kérdezem meg, hogy melyik szám van meg 4-szer a 24-ben.

Sok ehhez hasonló példa után – egész számok a hányadosok – fogalmazzuk meg azt a szabályt, hogy ha az osztandó és az osztó is ugyanannyiszorosára változik, akkor a hányados nem változik.

Ezután átírjuk az osztás jelét törtvonalra:

12/3 = 24/6; stb.

Ezek után térünk át olyan osztásokra, ahol nem egész a hányados:

1:2 = 3:?

Hogy el tudják képzelni az ilyen osztásokat rajzokat készítünk: ha egy dinnyét két gyerek között osztunk el, akkor ugyanannyit eszik egy gyerek, mint amikor 3 dinnyét 6 gyerek között osztunk szét.

Több ilyen példa után ismét megerősítjük, hogy a hányados nem változik, ha az osztandót is és az osztót is ugyanannyiszorosára változtatjuk.

Majd megint végigmegyünk az osztásokon, s az osztás jelére a törtvonalat használjuk:

1/2 = 3/6.

S amikor a konkrét példákat már jól oldják meg egyedül is a tanulók, akkor általánosítunk:

- Ha a:b = c, akkor mennyi lesz 2a:(2b)?

Ha itt a tanulók nem suttogják halkan, hogy 2c, akkor nyert ügyünk van. Bátortalanul, de elhangzik, hogy c.

Folytatjuk még egy-két példával a sort, majd használjuk a törtvonalat:

a/b = 2a/(2b) = 3a/(3b) = …. = c

S amikor ezt a tulajdonságot a tanulók saját szavaikkal megfogalmazzák, egy kis időre megnyugodhatunk. A következő lépés pedig az lesz, hogy az előbbi sort ne csak balról jobbra tudják alkalmazni (törtbővítés), hanem jobbról balra is (egyszerűsítés). Ez már gördülékenyen szokott menni.

Címkék:,
Beküldve a(z) algebra, módszertan, óravázlat kategóriába | Nincs hozzászólás

Osztás

2010. január 10. vasárnap

alma_3Az osztás műveleti tulajdonságainak ismerete, alkalmazása szükséges a törtek megértéséhez.

Akkor mondhatjuk, hogy kialakult számolási készség az osztás műveletével, ha a tanuló felismeri és alkalmazza (például), hogy 12:5 + 8:5 = 20:5. S ennek fordítottját is, például 128:4 = 120:4 + 8:4. Ezek az azonos nevezőjű törtek  összeadására vonatkozó műveleti szabályok.

Úgyanígy a kivonás esetén is: 30:7 – 2:7 = 28:7; s fordítva is. Olyan számfeladatokat, tevékenységeket és szöveges feladatokat készítsünk a tanulóknak, melyekből leszűrheti, kikövetkeztetheti, megalkothatja magában ezeket az összefüggéseket.

Például:

  • 12:9 + 21:9 - 6:9 =
  • 25 dm-es szalagot elosztani 8 tanuló között, majd 11 dm-es szalagot elosztani a 8 tanuló között – hány dm szalag lesz 1 tanulónál,
  • hétfőn 30 pohár tejet osztunk el az osztály 20 tanulójának, kedden 40 pohárral, szerdán 50 pohárral. Így hány pohár tejet kapott egy tanuló?
  • stb.

Az osztás következő tulajdonsága a törtek bővítésének, egyszerűsítésének megértéséhez szökséges. Például: 42:14 = 21:7. Sok-sok hasonló feladattal, gyakorlattal készíthetjük elő a törtegyszerűsítést, -bővítést, s aztán a közös nevezőre hozást.

Például: 42 almát osztunk el 14 tanuló között. Ekkor egy diák ugyannyi almát kap, mint amikor 21 almát osztunk el 7 tanuló között.

Vagy: 1 méteres szalagot 4-felé osztva ugyanannyit kapunk, mint 2 méteres szalagot 8-felé osztva -> 1:4 = 2:8.

Címkék:,
Beküldve a(z) algebra, módszertan kategóriába | Egy hozzálszólás »

Szorzás

2009. december 23. szerda

Kompetencia alapú matematika oktatás – ha jól értettem, ez valami olyasmit jelent, hogy használható (a gyakorlati élet problémáinak megoldásában használható) tudást, képességeket szerez a gyermek matematika órákon.

Hirtelen nem tudnám megmondani, hogy az általános vagy középiskolás matematika tartalmak közül melyik nem-használható-tudás problémamegoldásban, de most azokat az alapokat szeretném összegyűjteni, amelyek nélkül nem boldogul egy diák a középiskolában.

Szerintem a következőket jelenti a matematikai kompetencia:

  • a tanuló ismeri a számokat és azok tulajdonságait,
  • a tanuló ismeri a számokkal végezhető eljárásokat és az eljárások tulajdonságait,
  • a tanuló ismeri a síkidomokat, testeket és tulajdonságaikat,
  • a tanuló ismeri a síkidomokkal, testekkel végezhető eljárásokat és az eljárások  tulajdonságait.

Csak azokat a tanulókat engedném középiskolába, akik ismerik a természetes számokat, a négy alapműveletet, a műveleti tulajdonságokat. Akik ismerik a téglalapokat, hasábokat, tulajdonságaikat, a geometriai transzformációkat és tulajdonságaikat.

Ez így nagyon kevés tananyagtartalomnak tűnhet, ám szakiskolás és szakközépiskolás tapasztalataim szerint komoly hiányosságok mutatkoznak például a műveleti tulajdonságok ismerete és használata terén.

Ha a tanuló ismeri a számokkal, alakzatokkal végezhető műveletek tulajdonságait, akkor ki tudja választani közülük azt, amely egy adott probléma megoldását jelenti, jelentheti. A problémamegoldás azt a képességet takarhatja, hogy felismerjük, mely matematikai tulajdonság, összefüggés alkalmazásával szűntethetjük meg a problémát.

Például rendszerezőképességgel is akkor rendelkezik valaki, ha ismeri az elemek tulajdonságait, hiszen mindig tulajdonságok alapján rendszerezünk.

Vagy számolási készségről is akkor beszélhetünk, ha a műveleti tulajdonságokat alkalmazni tudja valaki. Vagyis a műveleti tulajdonságok segítségével egyszerűbbé, gyorsabban elvégezhetőbbé tudjuk tenni a feladatot.

Vagy a szabálykövetés képessége is akkor működik a tanulóban, ha szabályt, azaz tulajdonságot ismer fel, majd ezt alkalmazza újabb elemekre; vagy ki tudja választani, hogy adott elemek közül melyik rendelkezik még a tulajdonsággal.

Kommunikációs képességről is akkor beszélhetünk matematika órán, ha tulajdonságok segítségével kifejezi gondolatait, alátámasztja véleményét, bizonyítja állítását valaki.

Szorzás tulajdonságai

A szorzás mely műveleti tulajdonságainak ismeretére és alkalmazására van szükség középiskolában?

A művelet jelentése: a tanulók tudják, hogy az azonos tagokból álló összeadást szorzással írhatjuk le röviden.

Tudják, hogy a következő két (és hasonló) összeadás egyenlő: 3+3+3+3+3 és 5+5+5. 

Tudják és fejszámolásban alkalmazzák is, hogy (például) 8*19 = 8*10 + 8*9, és hasonlókat. Vagy: 8*19 = 8*20 – 8. Vagy: 8*19 = 10*19 – 2*19.

A hatványozás miatt (is) fontos lenne az ilyen tulajadonságok ismerete és alkalmazása: 8*19 = 19*2*2*2.

Vagy ránézésre tudják eldönteni, hogy melyik a nagyobb: 8*19 vagy 8*17. Vagy (5+3)*19 illetve (5+4)*19. S hasonlókat. Nem beszélhetünk számolási készségről, ha az ilyen kérdésekben bizonytalanok a tanulók, és ha a mobiltelefonjukkal számolják ki az eredményt, s csak azután tudják a megfelelő relációjelet beírni.

A tanulók tudjanak fejben, írásban illetve számológéppel szorozni. Lehet, hogy mechanikusan el tudja végezni az írásbeli szorzást a diák, de nem látja a mögötte meghúzódó tulajdonságot: 234*7 = 200*7 + 30*7 + 4*7; vagy 234*27 = 200*20 + 30*20 + 4*20 + 200*7 + 30*7 + 4*7. Már pedig nem tudunk helyi értékes szöveges feladatokat meoldani kilencedikben enélkül.

A természetes számok közötti műveletek tulajdonságai, a szorzások visszaírása összeadásokra alapvető ismeret, ha működésüket nem értik a tanulók, akkor nem lehet újabb számhalmaz felé lépni – mondjuk a racionális számok megismerése felé. Mert a racionális számok kezeléséhez már az osztás tulajdonságait is biztonsággal kell ismernie egy tanulónak.

Címkék:,
Beküldve a(z) algebra, módszertan kategóriába | Nincs hozzászólás

Hatványozás

2009. október 28. szerda

A hatványozás műveletével általános iskola hatodik, hetedik évfolyamán ismerkednek a tanulók. Amikor egy új műveletet, fogalmat, összefüggést kezdünk el tanítani, akkor sajátítják el könnyedén a diákok, ha konkrét, elképzelhető, filmszerűen lepörgethető gyakorlati példákon keresztül közelítjük meg az új tartalmat.

A másik fontos szempont a fokozatosság betartása az életkori sajátosságok miatt, amit nem kell külön hangsúlyozni.

Amikor csak lehetséges tanulói tevékenységek vezessék be az új fogalmakat, összefüggéseket, hogy tapasztalati úton alakíthassák ki a tanulók a hatványozás fogalmait, tulajdonságait:
- azonos tényezőjű szorzatokat írhatunk fel hatványalakban,
- állandó alap mellett a kitevő változása mit “okoz”,
- állandó kitevő mellett az alap változása mit “okoz”,
- az első hatvány maga a szám, az alap,
- nulladik kitevő jelentése megállapodás,
- és a művelet további tulajdonságai, azonosságai.

Minél változatosabbak legyenek ezek a gyakorlati példák, amelyekkel megerősítjük az új tartalmat és tulajdonságait.

Ezekből a szempontokból nézzük most a hatványozás tanítását.

(tovább…)

Címkék:
Beküldve a(z) algebra kategóriába | Nincs hozzászólás

Százalékszámítás

2009. október 26. hétfő

42-15641482A százalékszámítás tanítása általános iskola felső tagozatától szakiskola tízedik évfolyamáig húzódik. Tisztelet a kivételnek, annak a diáknak, aki 6 évnél rövidebb idő alatt is megtanulja a százalékszámítást.

Szakiskolában csak olyan gyerekekkel találkozom, akiknek újra és újra definiálnom kell, hogy a százalék jelentése századrész. Századrészt pedig 100-zal való osztással számolunk. Ha pedig 1%-nál többre van szükségünk, akkor az 1%-ot szorozzuk a százaléklábbal.

Nagyon elgondokodtató, hogy mi ez a zűrzavar a tanulók fejében a törtrész, százalék témakörben. Nem áll össze a kép a nebulók fejében, hogy 1/2 rész – 0,5 rész – 50% ugyanazt jelenti; s pláne, hogy ugyanúgy kell kiszámolni.

Amikor azt mondtam a tanítványomnak, hogy üsse be a számológépbe az 1/2-et, csak nézett meglepődve – törtet nem lehet begépelni. Rákérdeztem, hogy milyen művelet van az 1 és a 2 között. “Nem tudom”. S rá kell kérdeznem, hogy a törtvonal milyen műveletet jelent. Csak ezután tudta, hogy osztást kell írnia.

Ilyen problémákkal küzdünk, hogy 1/2=1:2. Újra fel kell építeni a századrész fogalmát. De hogyan?

(tovább…)

Címkék:
Beküldve a(z) algebra kategóriába | Nincs hozzászólás