Olyan egyszerű kérdésekkel kezdünk, mint például:

12:3 = 24:?

Nem látják, hogy kétszer akkora osztandót írtam, s hogy ugyanazt az eredményt kapjuk, nekik kétszeresére kell változtatni az osztót. Kiszámoljuk a baloldalt, s utána kérdezem meg, hogy melyik szám van meg 4-szer a 24-ben.

Sok ehhez hasonló példa után – egész számok a hányadosok – fogalmazzuk meg azt a szabályt, hogy ha az osztandó és az osztó is ugyanannyiszorosára változik, akkor a hányados nem változik.

Ezután átírjuk az osztás jelét törtvonalra:

12/3 = 24/6; stb.

Ezek után térünk át olyan osztásokra, ahol nem egész a hányados:

1:2 = 3:?

Hogy el tudják képzelni az ilyen osztásokat rajzokat készítünk: ha egy dinnyét két gyerek között osztunk el, akkor ugyanannyit eszik egy gyerek, mint amikor 3 dinnyét 6 gyerek között osztunk szét.

Több ilyen példa után ismét megerősítjük, hogy a hányados nem változik, ha az osztandót is és az osztót is ugyanannyiszorosára változtatjuk.

Majd megint végigmegyünk az osztásokon, s az osztás jelére a törtvonalat használjuk:

1/2 = 3/6.

S amikor a konkrét példákat már jól oldják meg egyedül is a tanulók, akkor általánosítunk:

- Ha a:b = c, akkor mennyi lesz 2a:(2b)?

Ha itt a tanulók nem suttogják halkan, hogy 2c, akkor nyert ügyünk van. Bátortalanul, de elhangzik, hogy c.

Folytatjuk még egy-két példával a sort, majd használjuk a törtvonalat:

a/b = 2a/(2b) = 3a/(3b) = …. = c

S amikor ezt a tulajdonságot a tanulók saját szavaikkal megfogalmazzák, egy kis időre megnyugodhatunk. A következő lépés pedig az lesz, hogy az előbbi sort ne csak balról jobbra tudják alkalmazni (törtbővítés), hanem jobbról balra is (egyszerűsítés). Ez már gördülékenyen szokott menni.

Akkor mondhatjuk, hogy kialakult számolási készség az osztás műveletével, ha a tanuló felismeri és alkalmazza (például), hogy 12:5 + 8:5 = 20:5. S ennek fordítottját is, például 128:4 = 120:4 + 8:4. Ezek az azonos nevezőjű törtek  összeadására vonatkozó műveleti szabályok.

Úgyanígy a kivonás esetén is: 30:7 – 2:7 = 28:7; s fordítva is. Olyan számfeladatokat, tevékenységeket és szöveges feladatokat készítsünk a tanulóknak, melyekből leszűrheti, kikövetkeztetheti, megalkothatja magában ezeket az összefüggéseket.

Például:

• 12:9 + 21:9 - 6:9 =
• 25 dm-es szalagot elosztani 8 tanuló között, majd 11 dm-es szalagot elosztani a 8 tanuló között – hány dm szalag lesz 1 tanulónál,
• hétfőn 30 pohár tejet osztunk el az osztály 20 tanulójának, kedden 40 pohárral, szerdán 50 pohárral. Így hány pohár tejet kapott egy tanuló?
• stb.

Az osztás következő tulajdonsága a törtek bővítésének, egyszerűsítésének megértéséhez szökséges. Például: 42:14 = 21:7. Sok-sok hasonló feladattal, gyakorlattal készíthetjük elő a törtegyszerűsítést, -bővítést, s aztán a közös nevezőre hozást.

Például: 42 almát osztunk el 14 tanuló között. Ekkor egy diák ugyannyi almát kap, mint amikor 21 almát osztunk el 7 tanuló között.

Vagy: 1 méteres szalagot 4-felé osztva ugyanannyit kapunk, mint 2 méteres szalagot 8-felé osztva -> 1:4 = 2:8.

Hirtelen nem tudnám megmondani, hogy az általános vagy középiskolás matematika tartalmak közül melyik nem-használható-tudás problémamegoldásban, de most azokat az alapokat szeretném összegyűjteni, amelyek nélkül nem boldogul egy diák a középiskolában.

Szerintem a következőket jelenti a matematikai kompetencia:

• a tanuló ismeri a számokat és azok tulajdonságait,
• a tanuló ismeri a számokkal végezhető eljárásokat és az eljárások tulajdonságait,
• a tanuló ismeri a síkidomokat, testeket és tulajdonságaikat,
• a tanuló ismeri a síkidomokkal, testekkel végezhető eljárásokat és az eljárások  tulajdonságait.

Csak azokat a tanulókat engedném középiskolába, akik ismerik a természetes számokat, a négy alapműveletet, a műveleti tulajdonságokat. Akik ismerik a téglalapokat, hasábokat, tulajdonságaikat, a geometriai transzformációkat és tulajdonságaikat.

Ez így nagyon kevés tananyagtartalomnak tűnhet, ám szakiskolás és szakközépiskolás tapasztalataim szerint komoly hiányosságok mutatkoznak például a műveleti tulajdonságok ismerete és használata terén.

Ha a tanuló ismeri a számokkal, alakzatokkal végezhető műveletek tulajdonságait, akkor ki tudja választani közülük azt, amely egy adott probléma megoldását jelenti, jelentheti. A problémamegoldás azt a képességet takarhatja, hogy felismerjük, mely matematikai tulajdonság, összefüggés alkalmazásával szűntethetjük meg a problémát.

Például rendszerezőképességgel is akkor rendelkezik valaki, ha ismeri az elemek tulajdonságait, hiszen mindig tulajdonságok alapján rendszerezünk.

Vagy számolási készségről is akkor beszélhetünk, ha a műveleti tulajdonságokat alkalmazni tudja valaki. Vagyis a műveleti tulajdonságok segítségével egyszerűbbé, gyorsabban elvégezhetőbbé tudjuk tenni a feladatot.

Vagy a szabálykövetés képessége is akkor működik a tanulóban, ha szabályt, azaz tulajdonságot ismer fel, majd ezt alkalmazza újabb elemekre; vagy ki tudja választani, hogy adott elemek közül melyik rendelkezik még a tulajdonsággal.

Kommunikációs képességről is akkor beszélhetünk matematika órán, ha tulajdonságok segítségével kifejezi gondolatait, alátámasztja véleményét, bizonyítja állítását valaki.

Szorzás tulajdonságai

A szorzás mely műveleti tulajdonságainak ismeretére és alkalmazására van szükség középiskolában?

A művelet jelentése: a tanulók tudják, hogy az azonos tagokból álló összeadást szorzással írhatjuk le röviden.

Tudják, hogy a következő két (és hasonló) összeadás egyenlő: 3+3+3+3+3 és 5+5+5. 

Tudják és fejszámolásban alkalmazzák is, hogy (például) 8*19 = 8*10 + 8*9, és hasonlókat. Vagy: 8*19 = 8*20 – 8. Vagy: 8*19 = 10*19 – 2*19.

A hatványozás miatt (is) fontos lenne az ilyen tulajadonságok ismerete és alkalmazása: 8*19 = 19*2*2*2.

Vagy ránézésre tudják eldönteni, hogy melyik a nagyobb: 8*19 vagy 8*17. Vagy (5+3)*19 illetve (5+4)*19. S hasonlókat. Nem beszélhetünk számolási készségről, ha az ilyen kérdésekben bizonytalanok a tanulók, és ha a mobiltelefonjukkal számolják ki az eredményt, s csak azután tudják a megfelelő relációjelet beírni.

A tanulók tudjanak fejben, írásban illetve számológéppel szorozni. Lehet, hogy mechanikusan el tudja végezni az írásbeli szorzást a diák, de nem látja a mögötte meghúzódó tulajdonságot: 234*7 = 200*7 + 30*7 + 4*7; vagy 234*27 = 200*20 + 30*20 + 4*20 + 200*7 + 30*7 + 4*7. Már pedig nem tudunk helyi értékes szöveges feladatokat meoldani kilencedikben enélkül.

A természetes számok közötti műveletek tulajdonságai, a szorzások visszaírása összeadásokra alapvető ismeret, ha működésüket nem értik a tanulók, akkor nem lehet újabb számhalmaz felé lépni – mondjuk a racionális számok megismerése felé. Mert a racionális számok kezeléséhez már az osztás tulajdonságait is biztonsággal kell ismernie egy tanulónak.

A másik fontos szempont a fokozatosság betartása az életkori sajátosságok miatt, amit nem kell külön hangsúlyozni.

Amikor csak lehetséges tanulói tevékenységek vezessék be az új fogalmakat, összefüggéseket, hogy tapasztalati úton alakíthassák ki a tanulók a hatványozás fogalmait, tulajdonságait:
- azonos tényezőjű szorzatokat írhatunk fel hatványalakban,
- állandó alap mellett a kitevő változása mit “okoz”,
- állandó kitevő mellett az alap változása mit “okoz”,
- az első hatvány maga a szám, az alap,
- nulladik kitevő jelentése megállapodás,
- és a művelet további tulajdonságai, azonosságai.

Minél változatosabbak legyenek ezek a gyakorlati példák, amelyekkel megerősítjük az új tartalmat és tulajdonságait.

Ezekből a szempontokból nézzük most a hatványozás tanítását.

Néhány tevékenység, játék, amelyekkel a hatványozás műveletét vezethetjük be:

Számkártyákkal az összes kétjegyű, háromjegyű, négyjegyű, stb. természetes szám kirakása, amelyekben csak 1-es, 2-es, 3-as számjegy szerepel; (kevesebb, illetve több számjeggyel is);

‘Totó’-szelvényeket készítünk, 2 mérkőzésre, 3 mérkőzésre, 4 méskőzésre, stb., s a lehetséges módokon kitölteni, s az összes lehetőség megadása;

Négyzetlapok lefedése egységnégyzetekkel, illetve kockák kirakása egységkockákkal, s a szükséges egységek száma a kérdés;

Családfa készítése különböző mélységekig, s az ősök száma a kérdés;

Papírlap folytatólagos félbehajtása egyszer, kétszer, háromszor, stb., és a rétegek száma, vagy a vastagság a kérdés (ha az eredeti lap 0,1mm vastag).

Leggyakrabban 10 hatványait használjuk a gyakorlati életben, például normálalakban vagy mértékegység átváltásoknál. Amennyiben lehetséges mérés órák is kerüljenek a témakör elejére: hosszúság, terület, térfogat, űrmértékek, tömeg egységeinek használata konkrét mérési feladtokban, majd az átváltások 10 hatványalakjaival.

Egyébként a mértékegység átváltások rendkívül bizonytalanok a szakiskolásoknál, nem tudják a váltószámokat, vagy azt, hogy szorozzanak, vagy osszanak a váltószámmal. Gondolom igen kevés tömegmérésben volt részük eddig. Egy konkrét példa:

Egy radír tömegét kellett megmérniük a gyerekeknek, s bár a serpenyőbe először berakott súlyok látványosan lehúzták a radírt, mégis a tanuló még egy 10 grammos egységet rakott a többi súly mellé. Nagyon meglepődött, hogy a serpenyő továbbra sem emelkedik az egyensúlyig.

Mérési feladatokat térképen is végeztessünk a tanulókkal, hogy használják a valódi távolság kiszámításához a méretarányt. Illetve a fokozatosság mentén haladva: a méretarány normálalakjával is dolgozzanak.

A Fealdatlapok oldalra feltettem a Fantasztikus utazás című ppt bemutatót – az interneten kaptam egy lánclevélben, de 10 hatványai változásának jelentését kiválóan bemutatja. Valamint egy mértékváltásokat gyakoroltató feladatsort is letölthet az oldalról.

Megjelent a Hatványozás tanítása című módszertani kiadványom – gyakorlatokkal, feladatlapokkal, szöveges feladatgyűjteménnyel, óravázlattal.

Szakiskolában csak olyan gyerekekkel találkozom, akiknek újra és újra definiálnom kell, hogy a százalék jelentése századrész. Századrészt pedig 100-zal való osztással számolunk. Ha pedig 1%-nál többre van szükségünk, akkor az 1%-ot szorozzuk a százaléklábbal.

Nagyon elgondokodtató, hogy mi ez a zűrzavar a tanulók fejében a törtrész, százalék témakörben. Nem áll össze a kép a nebulók fejében, hogy 1/2 rész – 0,5 rész – 50% ugyanazt jelenti; s pláne, hogy ugyanúgy kell kiszámolni.

Amikor azt mondtam a tanítványomnak, hogy üsse be a számológépbe az 1/2-et, csak nézett meglepődve – törtet nem lehet begépelni. Rákérdeztem, hogy milyen művelet van az 1 és a 2 között. “Nem tudom”. S rá kell kérdeznem, hogy a törtvonal milyen műveletet jelent. Csak ezután tudta, hogy osztást kell írnia.

Ilyen problémákkal küzdünk, hogy 1/2=1:2. Újra fel kell építeni a századrész fogalmát. De hogyan?

Végső célként a százalékszámítás lebeg a szemem előtt, ezért olyan eszközt kerestem, ami 100 egyenlő részre van osztva. Így a bevezető feladatokhoz alkalmas az 1dm-es vonalzó, vagy a 10cm oldalú négyzetlap. Lényeg, hogy megfogható, leolvasható, beszínezhető legyen a századrésze.

A másik szempont, hogy mind a három alakot használjuk párhuzamosan: törtalak, tizedes tört alak, százalékalak. Illetve, hogy a fokozatosságot is betartsuk:

1/100 dm =

0,01dm =

1dm 1%-a =

S a deciméteres vonalzó segítségével le is kell rajzolniuk a füzetbe az 1mm-t. Vagy a négyzetlapon beszínezni az 1 egységnégyzetet. Azután jön a 2%:

2/100 dm =

0,02 dm =

1 dm 2%-a =

És így tovább, ahány konkrét példára csak szüksége van a tanulóknak a törtrészek megértéséhez, illetve a tizedestört alak használatához.

A következő fokozat lehet, hogy a négyzetlaphoz, vonalzóhoz értéket rendelünk. Pédául: a négyzetlap 800 Ft, hány forint a beszínezett része?

Következő fokozat lehet, hogy a négyzetlapból kivágunk egy vagy több egységnégyzetet: hány %-kal csökkent a területe, vagy az értéke; hány %-a maradt meg, hány forint így a maradék lap, stb.

A következő fokozat lehet, hogy 1%-ot 0,01-dal való szorzással számolunk; 2%-ot 0,02-dal való szorzással számolunk, stb. S konkrét értékekre, illetve először a 800 Ft-os négyzetlapra, végigszámolni a tizedes törttel való szorzásokat. Megint az a lényeg, hogy bőségesen álljon rendelkezésre konkrét példa a tizedes tört alak használatára.

Sok időre van szükség a százalékszámítás megértéséhez, s hogy változatos példákból a tanulók kialakítsák magukban ennek a műveletnek a sémáját. A téves analógiák elkerülése érdekében szükséges, hogy sokféle alapnak, mennyiségnek lerajzolják, kiszámítsák, kirakják, stb. az 1%-át.

Másfelől ugyanannak az alapnak a sokféle százalékát is számolják ki a tanulók, hogy ráérezzenek az egyenes arányosságra. Tehát mind az alap, mind a százalékláb jelentését bőséges példák során tapasztalják meg a tanulók.

S csak ezek után térhetünk rá a fordított kérdésre: minek az 1%-a 8Ft? De ugyanilyen apró, először eszközökkel végzett, lépésekben. Megintcsak sok-sok konkrét példa során juthatunk el oda, hogy osztással számoljuk ki az alapot.

Ilyen gyakorlatokat tölthet le a “Feladatlapok” oldalról, pdf formátumban (új ablakban nyílik).