Az általános iskolás összefüggésektől indulva, a kilencedikes témákig:

• műveleti sorrend ismerete
• előjel-szabályok ismerete
• a tanuló képes adatokat behelyettesíteni képletbe
• a tanuló képes számológépével helyettesítési értéket számolni
• a négyzetgyökvonás értelmezési tartományának ismerete a valós számok halmazában
• képes másodfokú függvényt ábrázolni, tulajdonságait leolvasni.

Ezeket a képességeket érdemes gyakoroltatni a témakör elején.

Mivel a megoldóképlet egy törtes kifejezés, így a diákoknak biztonsággal tudniuk kell műveleteket végezni törtekkel, illetve törtet egyszerűsíteni. Erre különösen akkor van szükség, amikor a gyökök és együtthatók közötti összefüggések jönnek.

Mélyíti a tudást, ha előzetesen sokféle képletbe helyettesítenek be a tanulók. A változatosság arra ad lehetőséget, hogy bővítsék tapasztalataikat a műveletek “viselkedéséről”, tulajdonságairól .

osztás, osztás tulajdonságai –> törtek, törtbővítés –> egyenes arányosság –> kicsinyítés, nagyítás –> hasonlóság –> szögfüggvények.

A Letöltések oldalra feltettem egy gyakorló, ismétlő feladatsort. Tizenegyedikeseimmel ezzel a feladatsorral kezdünk neki a “Háromszög területe” –> “Szinusztétel” –> “Koszinusztétel” témakörnek.

Négy tanuló vitte az órákat, jelentkeztek, meg tudták oldani a feladatokat – a többiek homályos tekintettel bólogattak. Gyanús volt persze, de mindig csak annak az egy-egy tanulónak tisztult le bennem a problémája, aki éppen szenvedett a táblánál.

Dom-nál borult ki a … kakaós pohár. A kitevőkben törtek, s össze kellet volna adnia őket. Segédfogalma nem volt arról, hogy törteket hogyan adunk össze. “Nem tudom, írja be nyugodtan az egyest, tanárnő.” – akkurátusan elhelyezte a krétát a tartóban, s a helyére ballagott.

Összeszorult a szívem, ahogy megroggyant vállát figyeltem miközben távolodott a táblától – és a matematikától.

Megkértem Krisztit, hogy adja össze a törteket. Nagy, kék szeme úszott a riadalomban, miközben megfogta a krétát. S aztán: összeadta a számlálókat, és összeadta a nevezőket. Rám nézett, szeme csupa könny. “Oké Kriszti, semmi gond, csüccs le a helyedre.”

Még két tanulóval próbálkoztam, de az összeadás nem ment. Most hogyan tovább? Nagy csönd volt az osztályban, látták, hogy erősen töröm a fejem valamin. Két perc alatt megszabadultam attól a tabutól, hogy tizenegyedikben tizenegyedikes anyagot kell tanítani.

“Mit szóltok a következőhöz? A holnapi órától két csoportban tanulunk tovább. Az A csoporttal átvesszük a törtes műveleteket, a B csoport halad tovább a hatványozásban,esetleg mehet tovább a logaritmusra is. A lényeg, hogy úgy fogunk majd tanulni, hogy amíg az egyik csoportnak segítek, addig a másik csoport önállóan dolgozik. Majd csere.”

Azonnal helyeseltek. Felrémlett bennem, hogy 25-26 évvel ezelőtt tanultam módszertan előadásokon az osztott órákról. Balogh Viktória tanárnő volt a módszertan tanárom, s nagyon komolyan vette az egri főiskola annak idején a hallgatók felkészítését.

Este otthon kinyitottam a tizenegyedikes füzetemet, középen elfeleztem a következő lapot, s felkészültem az első tizenegyedikes osztott órámra. Valahogy így nézett ki: a bal oldali oszlopban az A csoport első feladata (tavalyi OKM feladat, amelyben osztás van) s ez önálló; s mellé a B csoporthoz: a házik ellenőrzése hatványozásból, majd az önálló gyakorló feladat kijelölése. Húztam egy vonalat.

A második egységben az A csoportnál ellenőrzés, majd együtt mennyiségek törtrészének kiszámítása fejszámolással (120 Ft negyed része, 10 óra harmad része, 18 liter ötöd része, stb.), majd az önálló feladatlap kiadása. E mellé a B oszlopba nem kerül semmi, hiszen ők ezalatt csöndben dolgoznak. Húztam egy vonalat.

S így tovább. Október közepéig mentek így az órák, de ez egy borzasztóan energiaigényes munka, kellőképpen bele is fáradtam. Ekkor a százalékszámítás ismétléséhez értem az A csoporttal, s a B csoport szólt, hogy itt szeretnének bekapcsolódni ők is, mert úgy érzik, hogy ez nehezebben megy nekik is. Semmi ellenvetésem nem volt, hogy visszatérjünk a szokásos óravezetéshez. Sőt!

Múlt héten írtunk dolgozatot, de semmi kiugró teljesítmény vagy magas átlag nem született. Az elégséges szintet hozta törtekből és százalékszámításból a csoport. Nem baj, hisz épp hogy csak elvetettük a magvakat. Most pedig kicsit “pihentetjük” ezt a témakört, s geometriát veszünk elő, a vektorműveleteket.

S miért krétapormentesek a matek óráim? November elején (végre) fölszereltek a termemben egy projektort, s a számítógépemen készülök már az órákra. A feladatokat, ábrákat kivetítem, a levezetéseket szövegszerkesztővel írom együtt a gyerekekkel, a szerkesztéseket, függvényábrázolásokat  GeoGebrával csinálom.

Az egyik végzős diákom így sóhajtott fel (mikor először meglátta, hogy milyen szuper ábrákat lehet találni az interneten a térgeometriai számításokhoz): “Végre betört a XXI. század a matekterembe.”

A szervezési feladatok a hetesek jelentését, a hiányzók beírását, az óra számának és címének felírását jelenti. Ezek évszázados rituálék a tanórák megkezdésekor, nem gondolom, hogy változtatni kellene rajtuk. Egyszerűen fegyelmezettebben kezdődik az óra, ha nem hagyjuk el ezeket az elejéről. Olyan mint az “on” nyomógomb.

A cél kitűzése azt jelenti, hogy egy mondatban közöljük az osztállyal, hogy a mai tananyag miben lesz hasznos számukra. Például: “Ma olyan feladatokat oldunk meg, amelyek vásárláskor (vagy közlekedéskor, vagy a bankban, stb.) segítenek nektek a legtöbbet.

2. Házi feladatok ellenőrzése

Leggyakoribb a frontális ellenőrzés, összeolvassuk az eredményeket. De szóba jöhet a pármunkás ellenőrzés is, vagy a megoldás felírása a táblára.

3. Ismétlés, bemelegítés

A tanulók előzetes tudását, ismereteit hozzuk felszínre. Vagy az előző órán tanult új összefüggés egyszerű alkalmazását. Például:

• fejszámolással
• számbarkóbával
• bingóval
• táblai tanulói feladatmegoldásokkal.

4. Új anyag / Gyakorlás / Összefoglalás

Új anyag megismerése történhet egy konkrét problmára építkezve kérdve kifejtő módszerrel. Ilyenkor nagyon meglódul a gyerekek fantáziája és érdekesebbnél érdekesebb eljárásokkal próbálják megoldani a kérdést.

Mozaik módszerrel is történhet az új ismeretek feldolgozása.

Gyakorló órákon a főszerep lehet a csoportmunkáé vagy a pármunkáé.

Az összefoglaló órákon az egyéni munka, egyéni feladatmegoldás dominálhat, illetve már rendelkezniük kell a tanulóknak annyi ismerettel a témakörben, hogy projektmunkát is szervezhetünk.

5. Ismétlés / Mélyítés / Alkalmazás

Az órák végén mindig legyen pár perc, amikor is közösen átismételjük a tanult, vagy gyakorolt összefüggéseket. Nem csak frontális ismétléssel történhet ez, adhatunk fel versenyfeladatot, vagy rövid, egyszerű de differenciál kérdéseket is.

6. Házi feladat előkészítése, kijelölése

Ne csak oldalszámot, feladatszámot írjuk fel a táblára, hanem vessünk egy pillantást is a házi feladatra. Beszéljük meg, hogy hogyan fogják otthon elkezdeni a megoldását.

7. Az órai munka, teljesítmény (formatív) értékelése

Egy mondatban mindig emeljük ki az órák végén azokat a momentumokat, amelyek dicséretre méltóak, s amelyek követendő példák lehetnek a következő tanórákon is.

A tanulók egy tananyagrész elemeit, lépéseit kapják meg kártyákon, s egyéni vagy pármunkában dolgozva kell a logikai egészet megalkotniuk.

Elemeire bonthatunk egy képet, egy folyamatot, egy szöveget. A diákoknak pedig a részekből “össze kell szerelni” az egészet. Ez a gyakorlat fejleszti az elemzőképességet, a rész és az egész kapcsolatának felfedezését, az összefüggések felismerését, a szövegértést.

Néhány egyszerű gyakorlatot állítottam össze, melyek az óra eleji bemelegítést, ismétlést segíthetik. A ‘Letöltés’ oldalon találja a fájlt.

Néhány feladat a rendezési, sorrendezési képességet fejleszti (Sorozat, Szöveges feladat megoldása, Háromszög szerkesztése, Egyenlet megoldása), van amelyik kiegészítést igényel (Diagram).

A Maradékos osztás feladatkártyák számai, jelei között pedig az összefüggéseket kell felismerniük a tanulópároknak.

Nyomtatás után a kártyákat kivágjuk, s összekeverve kapják meg a tanulók.

Egy-egy fejezet végén a gyakorló, összefoglaló órákon pedig verenyhelyzetet is teremthetünk az ilyen feladatokkal.

A matematikai eszköztár legfontosabb részei a mérés, az alapműveletek, az arányossági következtetések.

Most arról lesz szó, hogy a törtbővítés, -egyszerűsítés – kicsinyítés, nagyítás — szögfüggvények értelmezése, alkalmazása mennyire szoros összefüggésben van egymással. Még pontosabban, hogy a szorzás, osztás művelet és a műveleti tulajdonságaik alapozzák meg az arányossági számításokat és szerkesztéseket.

A törtbővítéshez az osztásnak ezt a tulajdonságát kell alaposan érteni:

Kétszer akkora számot kétszer annyi felé kell osztani, hogy ugyanannyit kapjunk. Ötször akkora számot ötször annyi felé kell osztani, hogy ugyanannyit kapjunk.

Nagyításnál, kicsinyítésnél ugyanerről van szó: minden szakasz kétszeresére (vagy ötszörösére) változik. Így a képszakaszok és az eredeti szakaszok aránya ugyanaz lesz. Például háromszög esetében:

a’/a = b’/b = c’/c = 2.

Van itt azonban egy másik arány is, ami nem változik akárhogy nagyítjuk, vagy kicsinyítjük a háromszöget. A háromszögön belül az oldalak egymáshoz viszonyított aránya:

a/b és a’/b’ arányok kapcsolata.

S itt van szerepe a tört egyszerűsítésnek, hiszen a’ = 2a, b’ = 2b, s így

a’/b’ = 2a/(2b) = a/b.

Derékszögű háromszögek esetében ezeknek az arányoknak nevet is adtak: például az a/b arányt az ‘a’ befogóval  szemközti szög tangensének nevezzük.

Szakiskla 10. osztályban azért nem olyan egyszerű ezt megértetni. Hogyan csináljuk?

Ahogy a Módszertan Magazin 3. számában írtam a legtermészetesebb tanulási út a tapasztalatokon alapuló, tevékenységekre támaszkodó tanulás. Milyen tevékenységek vezethetnek a fenti összefüggések megértéséhez?

Megint úgy kezdődik az óraleírás, hogy előzetesen a tanár készít rengeteg taneszközt a csoportok számára. Most nevezetesen egy csomó hasonló háromszöglapot. Ha van idő, akkor a tanulókkal is szekesztethetünk kétszeresre, háromszorosra, stb. nagyított háromszögeket. Majd vágják ki kartonlapból azokat.

1. feladat: a hasonló háromszögek megfelelő oldalainak megmérésével nézzék meg a tanulók, hogy minden oldal ugyanannyi szorosára változott. Ez elég nyilvánvaló lesz számukra, főleg, ha ők szerkesztették a nagyításokat. Most vizsgálják meg az a’/a, b’/b, stb. arányokat.

Mindig a hasonlóság arányát fogják kapni. Foglalják táblázatba méréseiket és az osztások eredményét. Ezt nem elég egy esetben megvizsgálni, többféle hasonlósági arányszámra is végezzék el a méréseket, számításokat.

2. feladat: gyűjtsék külön csoportokba a tanulók a hasonló háromszögeket, s most az egy csoporton belüli háromszögek oldalainak arányát számítsák ki. Azaz most vizsgálják az a’/b’ stb. arányokat. Szintén készítsenek táblázatot a mérésekről és az osztások eredményéről, hogy áttekinthető legyen az adathalmaz. Valamint, hogy kiderüljön számukra, hogy az oldalak egymáshoz viszonyított aránya nem változik nagyításkor, kicsinyítéskor.

3. feladat: a szögfüggvények értelmezéséhez pedig ugyanilyen mérési, számítási feladatokat szervezzünk a csoportoknak, csak most derékszögű háromszöglapok segítségével.

Az OFI honlapján található cikkre szeretném felhívni a figyelmet. Témája az Országos Kompetenciamérés tartalma és a matematikai eszköztudás. Idézet:

“A matematikai eszköztudás magában foglalja

• az egyénnek azt a képességét, amelynek segítségével megérti és elemzi a matematika szerepét a valós világban;
• a matematikai eszköztár készségszintű használatát;
• az elsajátított matematikai tudás valós élethelyzetekben való alkalmazásának igényét és az erre való képességet;
• a matematikai eszközök használatát a társadalmi kommunikációban és együttműködésben az egyén életkorának megfelelő szinten.

A matematikai eszköztudás felmérésekor tehát elsősorban a hétköznapi életben is előforduló feladatokkal találkoznak a tanulók, és az azokban vázolt valós problémákat meglévő matematikai képességeik és az iskolában, valamint a mindennapokban szerzett készségeik segítségével kell megoldaniuk. Ilyen valós probléma lehet például a pénzügyek intézése, az utazás, a természeti jelenségek változását mutató adatsorok és ábrázolásuk értelmezése.”
http://www.ofi.hu/tudastar/hazai-fejlesztesi/balazsi-ildiko-felvegi

Ezután az Országos Kompetenciamérés feladatainak tartalmi területeit részletezi a szerző: mennyiségek és műveletek, hozzárendelések és összefüggések, alakzatok síkban és térben, események statisztikai jellemzői és valószínűsége.

Ezekhez a tartalmi területekhez rendeli a matematika tantervi területeit: számolás, mérés, algebra, függvények, sorozatok, halmazok, logika, geometria, kombinatórika, valószínűség, leíró statisztika, gráfok.

A feladatok megoldásához szükségek készségek és képességek elemzése, a gondolkodási műveletek tartalma következik.

S végül a gondolkodási műveletek / tartalmi területek táblázatban (tesztmátrix) százalékos formában szerepelnek az OKM tesztek tartalmi arányai.

1. Matematikai eszköztudás

• Az összeadás, a kivonás, a szorzás, az osztás, a százalékszámítás, a törtek, a mértékegységátváltás használata a mindennapi életben felmerülő problémák megoldásában (például vásárlás, utazás).

2. Matematikai jelek és képletek használata

3. Matematikai érvelés és gondolkodás (absztrakció, modellezés); indoklás követése, értékelése

• Gondolkodási alapműveletek: analízis, szintézis, absztrahálás, összehasonlítás, összefüggés felfogása, kiegészítés, általánosítás, konkretizálás, rendezés, analógia

4. Kritikai gondolkodás

• Összevetéseket végez a tanuló a szöveg és a matematikai tartalom, a kérdés és a saját válasza, az eredmény és a realitások között.
• Kerekített értékekkel megecsüli a várható eredményt s ezt önellenőrzéshez használja.

5. Segédeszközök, informatikai eszközök használata

Földmérés

A matematikai problémák közül az egyik leggyakorlatiasabb a területszámítással kapcsolatos kérdések csokra.

A terület értelmezésétől, a mértékváltáson át, a külöböző testek lapjai területének kiszámításáig változatos lehetőségek adódnak a kompetenciafejlesztésre.

A terület értelmezése

Síkidomok területének meghatározásakor összehasonlítást végzünk. Mint minden mérés esetében, itt is választunk egy egységet, ez lesz az egység oldalú négyzetlap. Majd megszámláljuk, hogy hány darab ilyen egységterülettel fedhető le a síkidom – hézagmentesen, átfedésmentesen.

Ezt a meghatározást könnyedén lejátszhatják matematika órákon a gyerekek: elegendő mennyiségű 1cm, illetve 1dm oldalú négyzetlap kell hozzá.

Először egész oldalhosszúságú négyzetlapokat, téglalapokat fedjenek le. Majd később jöhetnek a háromszöglapok, paralelogrammalapok, ahol már átdarabolás vagy kiegészítés szükséges a lefedések előtt.

Pármunkában nézzék meg a tanulók azt is, hogy egybevágó síkidomok területe egyenlő.

Valószínűleg elég lesz egyszer kirakni a területét egybevágó téglalapoknak, háromszöglapoknak – nagyon nyilvánvaló észrevételről van szó. De látniuk kell a gyerekeknek, s nekik kell megfogalmazni a tapasztalatokat.

Csoportmunkában érdemes megnézni azt is, hogy ha egy síkidomot véges számú darabra bontunk, akkor a részek területének összege egyenlő az eredeti területtel.

A csoport egyik tagja az eredeti téglalapot, háromszöglapot fedi le, másik két tag pedig egy-egy részt. Ismét a tanulóktól kérjük a megfigyelések és következtetések megfogalmazását.

Ezeken az értelmező órákon a kulcskompetenciák közül az anyanyelvi kommunikációt, a matematikai és természettudományos kompetenciákat, a személyközi és a tanulási kompetenciákat edzük.

A kísérletezem –> megfigyelek –> következtetek –> leellenőrzöm cselekvéslánc nagyon eredményes tanulási módszer.

A terület mértékegységei

A terület alapmértékegysége az 1m oldalú négyzetlap, jele: 1m².

Lefedésekkel győződjenek meg a tanulók arról, hogy 1m² = 100dm²; illetve 1dm² = 100cm².

Az idegen nyelvű kommunikáció kulcskompetencia fejlesztéséhez is hozzájárulhatunk matematika órán: különböző nemzeti mértékek megbeszélésével, alkalmazásával feladatokban.

Nem csak a szóbeli kommunikáción van a hangsúly ilyenkor, hanem a jelrendszerben, jelölésrendszerben való eligazodáson is.

Az általános kultúra kompetenciaterület fejlesztésébe is bekapcsolódunk a régi és a nemzeti mértékegységek megismerésével.

Területszámítás

A területszámítás gyakorlatias problémáival érdemes kezdeni:

» lakás kifestése, parkettázása, tapétázása,
» telekvásárlás, lakásvásárlás,
» földterületek összehasonlítása, terméshozama,
» lámpák által megvilágított terület,
» országok, megyék területe; átlagok, arányok,
» helyiségek bérlése m2 alapon,
» A2, A3, A4, A5 lapok területe (oldalmérés –> számítás –> összehasonlítás –> összefüggés megfogalmazása)
» állatok territórium igénye,
» mérések, számítások a környezetben (játszótéren, parkban, iskolaudvaron).

Itt már egyértelműen a matematikai kompetenciák erősítése a főszereplő, mégpedig a matematikai eszköztudás elemeinek fejlesztése: négy alapművelet, százalékszámítás, törtek alkalmazása.

A szóbeli és írásbeli kommunikáció illetve a személyközi kompetenciák fejlesztése csoportmunkák során valósul meg: mérési és számítási feladatok megosztása, eredmények rögzítése, egyeztetése; meggyőzés, magyarázat, érvelés a csoporttagok között.

Ha lehetőség van a mérési eredmények Excel-táblázatban való rögzítésére, akkor a tanulók képlet beszúrásával számoltathatnak területet – ez már a digitális kompetencia fejlesztéséhez tartozik. Excelben a mértékegység átváltásokra is készíthetnek a diákok táblázatot, vagy az internetes keresési feladatok is ehhez a kompetenciaterülethez tartoznak.

Az egyik fontos tanulási kompetencia, hogy képesek legyünk egy probléma megoldásához szükséges eszközöket kiválasztani:

» számológép, számítógép,
» szoftvert,
» mérőeszközöket,
» kísérleti eszközöket,
» rögzítési módszert (felsorolás, táblázat, folyamatábra, fogalomtérkép, stb.)
A területszámítás témakörben mindegyikre adhatunk mintát a tanulóknak.

A következő linkeken online mértékegység átváltásokra van lehetőség. Érdemes ezeket az oldalakat használni, ha összehasonlítási vagy sorrendezési feladatot adunk, mert így nem megy el az idő az átszámítgatásokra. Az önellenőrzéshez is kiválóak.

http://www.agt.bme.hu/tantargyak/web/atvalt.html

http://www.pasztorvolgyi.sulinet.hu/zsolt/klte/mert_atv/merteke.htm

http://hauser.pmmf.hu/mertekegyseg/megysegvalto/index.htm

http://hmika.freeweb.hu/Lexikon/Html/Terulet.htm

http://autotuning.lapunk.hu/?modul=oldal&tartalom=54798

http://www.europages.co.hu/epmp-web/app?page=PTConverter/PTArea&service=page

Hasznos még önálló kutatáshoz, projekthez (régi magyar, angolszász, görög, stb. mértékegységek és átváltásuk):

http://www.kisbiro.hu/modules.php?name=Info&file=mertekek

A százalékszámítás

Szakiskolában csak olyan gyerekekkel találkozom, akiknek újra és újra definiálnom kell, hogy a százalék jelentése századrész. Századrészt pedig 100-zal való osztással számolunk. Ha pedig 1%-nál többre van szükségünk, akkor az 1%-ot szorozzuk a százaléklábbal.

Nagyon elgondokodtató, hogy mi ez a zűrzavar a tanulók fejében a törtrész, százalék témakörben. Nem áll össze a kép a nebulók fejében, hogy 1/2 rész – 0,5 rész – 50% ugyanazt jelenti; s pláne, hogy ugyanúgy kell kiszámolni.

Amikor azt mondtam a tanítványomnak, hogy üsse be a számológépbe az 1/2-et, csak nézett meglepődve – törtet nem lehet begépelni. Rákérdeztem, hogy milyen művelet van az 1 és a 2 között. “Nem tudom”. S rá kell kérdeznem, hogy a törtvonal milyen műveletet jelent. Csak ezután tudta, hogy osztást kell írnia.

Ilyen problémákkal küzdünk, hogy 1/2=1:2. Újra fel kell építeni a századrész fogalmát. De hogyan?

Végső célként a százalékszámítás lebeg a szemem előtt, ezért olyan eszközt kerestem, ami 100 egyenlő részre van osztva. Így a bevezető feladatokhoz alkalmas az 1dm-es vonalzó, vagy a 10cm oldalú négyzetlap. Lényeg, hogy megfogható, leolvasható, beszínezhető legyen a századrésze.

A másik szempont, hogy mind a három alakot használjuk párhuzamosan: törtalak, tizedes tört alak, százalékalak. Illetve, hogy a fokozatosságot is betartsuk:

1/100 dm =

0,01dm =

1dm 1%-a =

S a deciméteres vonalzó segítségével le is kell rajzolniuk a füzetbe az 1mm-t. Vagy a négyzetlapon beszínezni az 1 egységnégyzetet. Azután jön a 2%:

2/100 dm =

0,02 dm =

1 dm 2%-a =

És így tovább, ahány konkrét példára csak szüksége van a tanulóknak a törtrészek megértéséhez, illetve a tizedestört alak használatához.

A következő fokozat lehet, hogy a négyzetlaphoz, vonalzóhoz értéket rendelünk. Pédául: a négyzetlap 800 Ft, hány forint a beszínezett része?

Következő fokozat lehet, hogy a négyzetlapból kivágunk egy vagy több egységnégyzetet: hány %-kal csökkent a területe, vagy az értéke; hány %-a maradt meg, hány forint így a maradék lap, stb.

A következő fokozat lehet, hogy 1%-ot 0,01-dal való szorzással számolunk; 2%-ot 0,02-dal való szorzással számolunk, stb. S konkrét értékekre, illetve először a 800 Ft-os négyzetlapra, végigszámolni a tizedes törttel való szorzásokat. Megint az a lényeg, hogy bőségesen álljon rendelkezésre konkrét példa a tizedes tört alak használatára.

Sok időre van szükség a százalékszámítás megértéséhez, s hogy változatos példákból a tanulók kialakítsák magukban ennek a műveletnek a sémáját. A téves analógiák elkerülése érdekében szükséges, hogy sokféle alapnak, mennyiségnek lerajzolják, kiszámítsák, kirakják, stb. az 1%-át.

Másfelől ugyanannak az alapnak a sokféle százalékát is számolják ki a tanulók, hogy ráérezzenek az egyenes arányosságra. Tehát mind az alap, mind a százalékláb jelentését bőséges példák során tapasztalják meg a tanulók.

S csak ezek után térhetünk rá a fordított kérdésre: minek az 1%-a 8Ft? De ugyanilyen apró, először eszközökkel végzett, lépésekben. Megintcsak sok-sok konkrét példa során juthatunk el oda, hogy osztással számoljuk ki az alapot.