Például, ha a szög fogalmát szeretnénk megértetni, akkor az nem fog menni a pont, félegyenes, síkrész, tartomány fogalmak ismerete nélkül. S mértékegységének megismerése sem fog sikerülni a kör, körlap, egyenlő részekre osztás nélkül.

Hogyan győződhetünk meg az előzetes fogalmak meglétéről, tisztaságáról?

• Felsorolásból adott elem, elemek kiválasztása.
• A tanuló mutasson, vagy rajzoljon példát.
• Szerkesztési, számítási feladatok.
• Hiányos szöveg kiegészítése (1. Adott szókészletből kell a tanulónak kiválasztani a megfelelőket. 2. Nincs előre adott szókészlet, a diákok a saját szókincsükből egészítenek ki.).
• Hiányos ábrák befejezése.
• Hiányos műveletek kiegészítése.
• Adott elemek csoportosítása. (1. Előre adott tulajdonságok alapján halmazokba. 2. A tanulónak kell megalkotnia a csoportosítás szempontjait, tulajdonságait.).
• Tanulói tevékenységek, kísérletek, majd összehasonlítások: kisebb – nagyobb; hosszabb – rövidebb; tartalmazza – nem tartalmazza; több – kevesebb; lefedi – nem fedi le; stb.
• A tanuló írja körül, magyarázza el (definiálja) a fogalmakat.

Tanóráinkra való felkészüléskor ezeket az előzetes fogalmakat gyűjtjük össze, s alkalmazásukra készítünk tevékenységsort a diákoknak. Miután több szempontból, többféle szituációban is meggyőződtünk a fogalmak tisztaságáról, kerülhet sor a bővítésre, új fogalom megismerésére, a továbbfejlesztésre.

Hatványozást nem taníthatunk addig, amíg a szorzás és tulajdonságai nincsenek rendben a tanulók fejében: tényező fogalma, tényezőkre bontás képessége, szorzatok összehasonlítása a tényezők segítségével, példákat tud sorolni a tanuló (mondjuk tud mondani egy hattényezős szorzatot).

A konkrét pédák világítják meg a hasonlóságokat és a különbözőségeket a fogalmak és a közöttük lévő viszonyok, eljárások között: alap – tényező; kitevő – tényezők száma; hatványérték – szorzat. Az analógiák, a tulajdonságok öröklődése nagyon sokat segítenek a tanulóknak a matematika megértésében.

Példák következnek a legnagyobb közös osztó bevezető, előzetes órájához:

Melyik számot osztottuk 5-tel, ha a hányados 83, a maradék 2?

5-tel való osztáskor a maradékok lehetnek: ………….

Ha egy szám …….-ra vagy …….-re végződik, akkor osztható 5-tel.

A mondatokból hiányzik az ‘osztója’ vagy a ‘többszöröse’ szó. Pótold ezeket! A 25 ………. az 5-nek; a 25 ………. a 100-nak. A 39 ………. a 3-nak, és ………. a 13-nak. A 4 ………. a 20-nak; ………. a 2-nek.

Karikázd be a prímszámokat: 14; 17; 1; 27; 8; 9; 41; 5; 29; 12; 13.

Kösd össze a 28-at az osztóival:

0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20; 21; 22; 23; 24; 25; 26; 27; 28; 56.

Kösd össze a 35-öt az osztóival:

2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31

Írd a számokat a megfelelő részhalmazba: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; ….; 20.

Írd a mondatok után a megfelelő betűt:

• A: 41
• B: 42
• C: mindkét szám
• D: egyik sem

1. Természetes szám. ___
2. Összetett szám. ___
3. Prímszám. ___
4. 9-cel osztható. ___
5. Egyik többszöröse az 1722. ___
6. 6 többszöröse. ___

Olyan egyszerű kérdésekkel kezdünk, mint például:

12:3 = 24:?

Nem látják, hogy kétszer akkora osztandót írtam, s hogy ugyanazt az eredményt kapjuk, nekik kétszeresére kell változtatni az osztót. Kiszámoljuk a baloldalt, s utána kérdezem meg, hogy melyik szám van meg 4-szer a 24-ben.

Sok ehhez hasonló példa után – egész számok a hányadosok – fogalmazzuk meg azt a szabályt, hogy ha az osztandó és az osztó is ugyanannyiszorosára változik, akkor a hányados nem változik.

Ezután átírjuk az osztás jelét törtvonalra:

12/3 = 24/6; stb.

Ezek után térünk át olyan osztásokra, ahol nem egész a hányados:

1:2 = 3:?

Hogy el tudják képzelni az ilyen osztásokat rajzokat készítünk: ha egy dinnyét két gyerek között osztunk el, akkor ugyanannyit eszik egy gyerek, mint amikor 3 dinnyét 6 gyerek között osztunk szét.

Több ilyen példa után ismét megerősítjük, hogy a hányados nem változik, ha az osztandót is és az osztót is ugyanannyiszorosára változtatjuk.

Majd megint végigmegyünk az osztásokon, s az osztás jelére a törtvonalat használjuk:

1/2 = 3/6.

S amikor a konkrét példákat már jól oldják meg egyedül is a tanulók, akkor általánosítunk:

- Ha a:b = c, akkor mennyi lesz 2a:(2b)?

Ha itt a tanulók nem suttogják halkan, hogy 2c, akkor nyert ügyünk van. Bátortalanul, de elhangzik, hogy c.

Folytatjuk még egy-két példával a sort, majd használjuk a törtvonalat:

a/b = 2a/(2b) = 3a/(3b) = …. = c

S amikor ezt a tulajdonságot a tanulók saját szavaikkal megfogalmazzák, egy kis időre megnyugodhatunk. A következő lépés pedig az lesz, hogy az előbbi sort ne csak balról jobbra tudják alkalmazni (törtbővítés), hanem jobbról balra is (egyszerűsítés). Ez már gördülékenyen szokott menni.

Akkor mondhatjuk, hogy kialakult számolási készség az osztás műveletével, ha a tanuló felismeri és alkalmazza (például), hogy 12:5 + 8:5 = 20:5. S ennek fordítottját is, például 128:4 = 120:4 + 8:4. Ezek az azonos nevezőjű törtek  összeadására vonatkozó műveleti szabályok.

Úgyanígy a kivonás esetén is: 30:7 – 2:7 = 28:7; s fordítva is. Olyan számfeladatokat, tevékenységeket és szöveges feladatokat készítsünk a tanulóknak, melyekből leszűrheti, kikövetkeztetheti, megalkothatja magában ezeket az összefüggéseket.

Például:

• 12:9 + 21:9 - 6:9 =
• 25 dm-es szalagot elosztani 8 tanuló között, majd 11 dm-es szalagot elosztani a 8 tanuló között – hány dm szalag lesz 1 tanulónál,
• hétfőn 30 pohár tejet osztunk el az osztály 20 tanulójának, kedden 40 pohárral, szerdán 50 pohárral. Így hány pohár tejet kapott egy tanuló?
• stb.

Az osztás következő tulajdonsága a törtek bővítésének, egyszerűsítésének megértéséhez szökséges. Például: 42:14 = 21:7. Sok-sok hasonló feladattal, gyakorlattal készíthetjük elő a törtegyszerűsítést, -bővítést, s aztán a közös nevezőre hozást.

Például: 42 almát osztunk el 14 tanuló között. Ekkor egy diák ugyannyi almát kap, mint amikor 21 almát osztunk el 7 tanuló között.

Vagy: 1 méteres szalagot 4-felé osztva ugyanannyit kapunk, mint 2 méteres szalagot 8-felé osztva -> 1:4 = 2:8.