Például, ha a szög fogalmát szeretnénk megértetni, akkor az nem fog menni a pont, félegyenes, síkrész, tartomány fogalmak ismerete nélkül. S mértékegységének megismerése sem fog sikerülni a kör, körlap, egyenlő részekre osztás nélkül.

Hogyan győződhetünk meg az előzetes fogalmak meglétéről, tisztaságáról?

• Felsorolásból adott elem, elemek kiválasztása.
• A tanuló mutasson, vagy rajzoljon példát.
• Szerkesztési, számítási feladatok.
• Hiányos szöveg kiegészítése (1. Adott szókészletből kell a tanulónak kiválasztani a megfelelőket. 2. Nincs előre adott szókészlet, a diákok a saját szókincsükből egészítenek ki.).
• Hiányos ábrák befejezése.
• Hiányos műveletek kiegészítése.
• Adott elemek csoportosítása. (1. Előre adott tulajdonságok alapján halmazokba. 2. A tanulónak kell megalkotnia a csoportosítás szempontjait, tulajdonságait.).
• Tanulói tevékenységek, kísérletek, majd összehasonlítások: kisebb – nagyobb; hosszabb – rövidebb; tartalmazza – nem tartalmazza; több – kevesebb; lefedi – nem fedi le; stb.
• A tanuló írja körül, magyarázza el (definiálja) a fogalmakat.

Tanóráinkra való felkészüléskor ezeket az előzetes fogalmakat gyűjtjük össze, s alkalmazásukra készítünk tevékenységsort a diákoknak. Miután több szempontból, többféle szituációban is meggyőződtünk a fogalmak tisztaságáról, kerülhet sor a bővítésre, új fogalom megismerésére, a továbbfejlesztésre.

Hatványozást nem taníthatunk addig, amíg a szorzás és tulajdonságai nincsenek rendben a tanulók fejében: tényező fogalma, tényezőkre bontás képessége, szorzatok összehasonlítása a tényezők segítségével, példákat tud sorolni a tanuló (mondjuk tud mondani egy hattényezős szorzatot).

A konkrét pédák világítják meg a hasonlóságokat és a különbözőségeket a fogalmak és a közöttük lévő viszonyok, eljárások között: alap – tényező; kitevő – tényezők száma; hatványérték – szorzat. Az analógiák, a tulajdonságok öröklődése nagyon sokat segítenek a tanulóknak a matematika megértésében.

Példák következnek a legnagyobb közös osztó bevezető, előzetes órájához:

Melyik számot osztottuk 5-tel, ha a hányados 83, a maradék 2?

5-tel való osztáskor a maradékok lehetnek: ………….

Ha egy szám …….-ra vagy …….-re végződik, akkor osztható 5-tel.

A mondatokból hiányzik az ‘osztója’ vagy a ‘többszöröse’ szó. Pótold ezeket! A 25 ………. az 5-nek; a 25 ………. a 100-nak. A 39 ………. a 3-nak, és ………. a 13-nak. A 4 ………. a 20-nak; ………. a 2-nek.

Karikázd be a prímszámokat: 14; 17; 1; 27; 8; 9; 41; 5; 29; 12; 13.

Kösd össze a 28-at az osztóival:

0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20; 21; 22; 23; 24; 25; 26; 27; 28; 56.

Kösd össze a 35-öt az osztóival:

2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31

Írd a számokat a megfelelő részhalmazba: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; ….; 20.

Írd a mondatok után a megfelelő betűt:

• A: 41
• B: 42
• C: mindkét szám
• D: egyik sem

1. Természetes szám. ___
2. Összetett szám. ___
3. Prímszám. ___
4. 9-cel osztható. ___
5. Egyik többszöröse az 1722. ___
6. 6 többszöröse. ___

Hirtelen nem tudnám megmondani, hogy az általános vagy középiskolás matematika tartalmak közül melyik nem-használható-tudás problémamegoldásban, de most azokat az alapokat szeretném összegyűjteni, amelyek nélkül nem boldogul egy diák a középiskolában.

Szerintem a következőket jelenti a matematikai kompetencia:

• a tanuló ismeri a számokat és azok tulajdonságait,
• a tanuló ismeri a számokkal végezhető eljárásokat és az eljárások tulajdonságait,
• a tanuló ismeri a síkidomokat, testeket és tulajdonságaikat,
• a tanuló ismeri a síkidomokkal, testekkel végezhető eljárásokat és az eljárások  tulajdonságait.

Csak azokat a tanulókat engedném középiskolába, akik ismerik a természetes számokat, a négy alapműveletet, a műveleti tulajdonságokat. Akik ismerik a téglalapokat, hasábokat, tulajdonságaikat, a geometriai transzformációkat és tulajdonságaikat.

Ez így nagyon kevés tananyagtartalomnak tűnhet, ám szakiskolás és szakközépiskolás tapasztalataim szerint komoly hiányosságok mutatkoznak például a műveleti tulajdonságok ismerete és használata terén.

Ha a tanuló ismeri a számokkal, alakzatokkal végezhető műveletek tulajdonságait, akkor ki tudja választani közülük azt, amely egy adott probléma megoldását jelenti, jelentheti. A problémamegoldás azt a képességet takarhatja, hogy felismerjük, mely matematikai tulajdonság, összefüggés alkalmazásával szűntethetjük meg a problémát.

Például rendszerezőképességgel is akkor rendelkezik valaki, ha ismeri az elemek tulajdonságait, hiszen mindig tulajdonságok alapján rendszerezünk.

Vagy számolási készségről is akkor beszélhetünk, ha a műveleti tulajdonságokat alkalmazni tudja valaki. Vagyis a műveleti tulajdonságok segítségével egyszerűbbé, gyorsabban elvégezhetőbbé tudjuk tenni a feladatot.

Vagy a szabálykövetés képessége is akkor működik a tanulóban, ha szabályt, azaz tulajdonságot ismer fel, majd ezt alkalmazza újabb elemekre; vagy ki tudja választani, hogy adott elemek közül melyik rendelkezik még a tulajdonsággal.

Kommunikációs képességről is akkor beszélhetünk matematika órán, ha tulajdonságok segítségével kifejezi gondolatait, alátámasztja véleményét, bizonyítja állítását valaki.

Szorzás tulajdonságai

A szorzás mely műveleti tulajdonságainak ismeretére és alkalmazására van szükség középiskolában?

A művelet jelentése: a tanulók tudják, hogy az azonos tagokból álló összeadást szorzással írhatjuk le röviden.

Tudják, hogy a következő két (és hasonló) összeadás egyenlő: 3+3+3+3+3 és 5+5+5. 

Tudják és fejszámolásban alkalmazzák is, hogy (például) 8*19 = 8*10 + 8*9, és hasonlókat. Vagy: 8*19 = 8*20 – 8. Vagy: 8*19 = 10*19 – 2*19.

A hatványozás miatt (is) fontos lenne az ilyen tulajadonságok ismerete és alkalmazása: 8*19 = 19*2*2*2.

Vagy ránézésre tudják eldönteni, hogy melyik a nagyobb: 8*19 vagy 8*17. Vagy (5+3)*19 illetve (5+4)*19. S hasonlókat. Nem beszélhetünk számolási készségről, ha az ilyen kérdésekben bizonytalanok a tanulók, és ha a mobiltelefonjukkal számolják ki az eredményt, s csak azután tudják a megfelelő relációjelet beírni.

A tanulók tudjanak fejben, írásban illetve számológéppel szorozni. Lehet, hogy mechanikusan el tudja végezni az írásbeli szorzást a diák, de nem látja a mögötte meghúzódó tulajdonságot: 234*7 = 200*7 + 30*7 + 4*7; vagy 234*27 = 200*20 + 30*20 + 4*20 + 200*7 + 30*7 + 4*7. Már pedig nem tudunk helyi értékes szöveges feladatokat meoldani kilencedikben enélkül.

A természetes számok közötti műveletek tulajdonságai, a szorzások visszaírása összeadásokra alapvető ismeret, ha működésüket nem értik a tanulók, akkor nem lehet újabb számhalmaz felé lépni – mondjuk a racionális számok megismerése felé. Mert a racionális számok kezeléséhez már az osztás tulajdonságait is biztonsággal kell ismernie egy tanulónak.